, Deutscher Wetterdienst (DWD) en Allemagne, l'Institut Royal Météorologique (IRM) de Belgique. Les données DSCLIM nous ont été fournies par C. Pagé du CERFACS. Les données E-OBS proviennent du projet européen FP6 ENSEMBLES
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, Annexe 1. Le test d'hypothèse de Pettitt, 1979.
La séquence est censée contenir un point de rupture à ? si les X t pour t = 1, 2, ?, ? ont une distribution commune F 1 (X) et les X t pour t = ?+1,?, N ont une distribution commune F 2 (X) différente de F 1 (X). L'hypothèse nulle de stationnarité (non rupture) H 0 : ? = N contre l'hypothèse alternative de rupture H 1 : 1 ? ? < N est testée au moyen d'un test non paramétrique (i.e. libre de distribution), dérivé de celui de Mann-Whitney. La statistique du test notée U ?,N , considérée pour les valeurs de t comprise entre 1 et N est telle que : Par l'intermédiaire du calcul de cette statistique, on cherche donc à savoir si les couples de valeurs X i -X j sont rangés préférentiellement dans un sens (e.g. croissant) ou dans l'autre (e.g. décroissant) en appariant les valeurs de part et d'autre d'un point de rupture ? ,
, H 0 est rejetée si cette probabilité au dépassement est inférieure à ?. Dans ce cas, la série chronologique présente une rupture au temps ? définissant K N soit : Annexe 2. Le test U de Mann-Withney-Wilcoxon (Wilcoxon, 1945.
, On considère deux échantillons X 1 et X 2 de valeurs indépendantes (X 1 , X 2 , ?, X N1 ) d'une variable aléatoire X de distribution inconnue. Le but du test est de prendre une décision concernant l'hypothèse nulle suivante H 0 : la médiane de, Ce test peut être défini comme un test de symétrie des répartitions
, Si les échantillons X 1 et X 2 ont la même médiane, on s'attend à ce qu'ils se répartissent de façon homogène autour de cette médiane, autrement dit à ce que les rangs des deux échantillons regroupés soient bien mélangés
, On rassemble les N 1 observations X 1 , les N 2 observations X 2 et on range par ordre croissant les N 1 +N 2 observations. Dans ce classement, on note r 1 , ?, r N1 les rangs des N 1 observations
, Les valeurs de la statistique du test U s'écrivent
, Avec W 1 = r 1 + ? + r N1 , la somme des rangs du premier échantillon ; W 2 = r 2 + ? + r N2 , la somme des rangs du second échantillon
, Lorsque la taille des échantillons excède une dizaine d'observations, la loi de distribution de U est une Gaussienne centrée-réduite. La statistique du test s'écrit alors : On rejette l'hypothèse nulle si la plus petite des deux valeurs de Z est supérieure ou égale à la valeur critique donnée par la Gaussienne centrée-réduite au risque de première espèce ?. Dans le cas d'un test unilatéral, c'est U 1 (unilatéral à gauche) ou U 2 (unilatéral à droite) qui est utilisée
La statistique du test, le S de Kendall se calcule par : On dénombre donc pour tous les couples X i -X j les cas où la différence est positive ou négative, puis on calcule la différence entre ces deux quantités. La statistique S varie donc entre ± n(n-1)/2. Sous l'hypothèse H 0 de stationnarité de la série chronologique, cette différence devrait tendre vers 0. A l'inverse, si les valeurs de la série temporelle ont tendance à croître, S devrait prendre des valeurs positives, et inversement en cas de décroissance des valeurs (Renard, 2006), N ) un échantillon de valeurs indépendantes d'une variable aléatoire X dont on cherche à tester la stationnarité ,
, , 1945.
, Dès que la taille de l'échantillon excède une dizaine d'observations, alors la loi de la statistique de test Z ci-dessous peut-être approchée par une Gaussienne centrée-réduite : Pour un risque ? de première espèce, H 0 est rejetée si la probabilité au dépassement de Z est inférieure à ? dans le cas d'une tendance positive