O. Or?a and ?. , donc?Adonc? donc?A induit un opérateur sur (ker?Bker? ker?B) ? , c'est-à-dire sur les sections

G. Un-opérateur-diérentiel-basique and F. , -transversalement elliptique tel qu'en dehors de la saturation d'un compact de U , D = Id modulo les trivialisations de E et E . Alors D induit un opérateur diérentiel basique G-invariant (G, F)-transversalement elliptique sur j(U ), qu'on note j * (D), et qui se prolonge en dehors de j(U ) par l'identité

B. Annexe and . Notion-de-f-brés, Nous allons à présent étudier la notion de F-brés ([KT75]) qui sera la classe de brés vectoriels que nous considérerons par la suite, Nous commencerons par faire quelques rappels sur les connexions (voir [Spi79, GHV73, KT68]). On désignera par X une variété

G. Est-un-groupe-de-lie-compact-?g, ?. G. , and ?. P. , On appelle connexion sur P la donnée d'un sous-bré principal H tel que : (i) ?z ? H, T z P = V z ? H z où H z désigne la bre de H en z. (ii)

. Remarque, Les deux dénitions précédentes sont en fait équivalentes (voir [Spi79, GHV73]) Si E est le bré vectoriel associé à P , on alors une correspondance biunivoque entre l'ensemble des connexions linéaires

. Remarque, On voit immédiatement que ?(E/F) est un ? 0

*. La-connexion and . Est-caracterisée-par, s * ), s (V ) + s * , (s) (V ) = (d s * , s)(V )

. [. Bibliographie, . Alvarez, and . Lopez, The basic component of the mean curvature of riemannian foliations, Annals of Global Analysis and Geometry, vol.10, p.179194, 1992.

I. [. Atiyah and . Singer, The index of elliptic operators

M. F. Atiyah, Elliptic operators and compact groups, Lecture Notes in Math, vol.401
DOI : 10.1007/BFb0057821

N. Berline, E. Getzler, and M. Vergne, Heat kernels and Dirac operators. Grundlehren text Editions, 2004.
DOI : 10.1007/978-3-642-58088-8

]. J. Bkr10a, F. F. Brüning, and K. Richardson, Index theory for basic dirac operators on riemannian foliations, 2010.

]. J. Bkr10b, F. F. Brüning, K. Kamber, and . Richardson, The equivariant index theorem for tansversally elliptic operators and the basic index theorem for riemannian foliations, 2010.

]. N. Bv96a, M. Berline, and . Vergne, The chern character of a transversally elliptic symbol and the equivariant index, Inventiones Mathematicae, vol.124, issue.1, p.1149, 1996.

]. N. Bv96b, M. Berline, and . Vergne, L'indice équivariant des opérateurs transversallement elliptiques, Inventiones Mathematicae, vol.124, issue.1, p.51101, 1996.

Y. Carrière, Flots riemanniens. Astérisque, p.3152, 1984.

A. Candel and L. Conlon, Foliations 1, Graduate Studies in Mathematics, vol.23, 2000.

]. D. Dom98 and . Dominguez, Finiteness and tenseness theorems for riemannian foliations

A. Kacimi-alaoui, Opérateurs transversalement elliptiques sur un feuilletage riemannien et applications, Compositio Mathematica, vol.73, issue.1, p.57106, 1990.

G. [. Kacimi-alaoui and . Hector, Décomposition de Hodge basique pour un feuilletage riemannien. Annales de l'institut Fourier, p.207227, 1986.
DOI : 10.5802/aif.1066

M. [. El-kacimi-alaoui and . Nicolau, On the topological invariance of the basic cohomology

V. [. Kacimi-alaoui, G. Sergiescu, and . Hector, La cohomologie basique d'un feuilletage riemannien est de dimension nie
DOI : 10.1007/bf01161658

J. Faraut, Analyse sur les groupes de Lie, Calvage et Mounet, 2006.

P. B. Gilkey, Invariance theory, the heat equation, and the Atiyah-Singer index theorem, Mathematics Lecture Series. Publish or Perish Inc, vol.11, 1984.

J. [. Gorokhovsky and . Lott, The index of a transverse Dirac-type operator: the case of abelian Molino sheaf, Journal f??r die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), vol.2013, issue.678, 2010.
DOI : 10.1515/crelle.2012.020

]. A. Hae58 and . Haeiger, Structures feuilletées et cohomologie à valeur dans un faisceau de groupoïdes, Commentarii Mathematici Helvetici, vol.32, issue.1, p.248329, 1958.

A. Haeiger, Leaf closures in riemannian foliations. A Fête of Topology, p.332, 1988.

S. Helgason, Dierential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, Graduate Studies in Mathematics, vol.34, 2001.
DOI : 10.1090/gsm/034

F. E. Hirzebruch, Topological methods in algebraic geometry

F. W. Kamber and P. Tondeur, Flat manifolds, Lecture Notes in Math, vol.67, 1968.
DOI : 10.1007/bfb0076911

F. W. Kamber and P. Tondeur, Foliated bundles and characteristic classes, Lecture Notes in Math, vol.493, 1975.
DOI : 10.1007/bfb0081558

F. Kamber and P. Tondeur, De Rahm-Hodge theory for riemannian foliations, Math. Ann, p.415431, 1987.

H. , B. Jr, M. Lawson, and . Michelsohn, Spin Geometry, 1989.

X. Masa, Duality and minimality in riemannian foliations, Comment . Math. Helvetici, vol.67, p.1727, 1992.

I. Moerdijk and J. Mrcun, Introduction to foliations and Lie groupoids, volume 91 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 2003.

P. Molino, Riemmannian foliations, volume 73 of Progress in Mathematics, 1988.

J. Milnor and J. D. Stashe, Characteristic classes, Annals of Mathematics Studies, vol.76, 1974.

M. [. Nishikawa, P. Ramachandran, and . Tondeur, The heat equation for riemmanian foliations. Transactions of the, p.619630, 1990.

K. [. Park and . Richardson, The basic Laplacian of a Riemannian foliation, American Journal of Mathematics, vol.118, issue.6, p.12491275, 1996.
DOI : 10.1353/ajm.1996.0053

B. L. Reinhart, Foliated Manifolds with Bundle-Like Metrics, The Annals of Mathematics, vol.69, issue.1, p.119132, 1959.
DOI : 10.2307/1970097

B. L. Reinhart, Harmonic Integrals on Foliated Manifolds, American Journal of Mathematics, vol.81, issue.2, p.529536, 1959.
DOI : 10.2307/2372756

]. K. Ric98 and . Richardson, The asymptotics of heat kernels on riemannian foliations. Geometric and Functional Analysis, 1998.

]. K. Ric10 and . Richardson, Traces of heat operators on riemannian foliations, Trans. Amer. Math. Soc, vol.362, issue.5, 2010.

J. Roe, Elliptic operators, topology and asymptotic methods

]. H. Rum79 and . Rummler, Quelques notions imples en géométries riemanniennes et leurs applications aux feuilletages compacts, Comment . Math. Helvetici, vol.54, p.224239, 1979.

]. V. Ser85 and . Sergiescu, Cohomologie basique et dualité des feuilletages riemanniens. Annales de l'institut Fourier, p.137158, 1985.

M. Spivak, A comprehensive introduction to dierential geometry vol 2. Publish or Perish, 1979.

W. Thurston, The theory of foliations of codimension greater than one, Commentarii Mathematici Helvetici, vol.49, issue.1, p.214231, 1974.

P. Tondeur, Geometry of Foliations, Monographs in Mathematics, vol.90, 1997.
DOI : 10.1007/978-3-0348-8914-8

R. O. Wells, Dierential analysis on complex manifolds, 1980.