. Dans-son-premier-théorème, Dirk Aeyels a montré que pour un champ de vecteurs fixé /, toute fonction de sortie h peut être approchée par une autre fonction à tel que, Iz) est P-observable

L. 9. Soient and T. , A Ie sous ensemble des charnps d,e uecteurs possédant un nombre fini ile points d'équilibres et dont le nombre il'orbites périodiques aaec période inférieure ou égale àT est fini

R. Lemme-lom, Soit f e A un champ de uecteurs de points d'équilibres tr,...ri. Le sous ensemble B de C* (M, lR) des fonctions h tel que h(ri) # h(, ), i, { j , est un ower

. Théorème-25 and I. Soient, 1) est P-obseruable est un ouuert dense de C-(M,R) pour presque tout programme il'échantillonnage P constitué par (2n I l) points t;, 0 I t; I T. Dans son deuxième théorème, Dirk Aeyels a montré que pour une fonction de sortie fixê h, tout champ de vecteurs

L. Lemme, D. Sodt, C. Ie-sous-ensernble-de, and R. , des applications h auec un nornbre fini de points critiques non dégénérés n; et h(a;) # h(r) pour i + j

L. Lemme, Soit h f,ré dansD, considérons le sous ensemble t intersection des ensembles tr, t2 et 83 définis respectiuement par : 1. Deur points d'équilibres n

. En-ce-qui-concerne-p-observabilité, Dirk Aeyels a appelé un système (f ,h) P-observable sur [0,?] si et seulement si I'application r ,+ (hoç(tt,o),...,hog(t2n+r,c)) est un plongement de M dans R2"*1. Cette définition tient compte également des remarques proposes pas Kalman et

L. 'observabilitê-différentielle-et, Avant d'exposer ces notions, nous introduisons quelques notations Nous supposons dans la suite que le contrôle z est régulier. Nous considérons le champ de vecteur /N sur M x U y Xg(N-l)zn définie par l* (r,r(o),.. . , z('-r); =iï,lr,ug*+ i Ë rr, Nous notons zN = (z(o) 7=r ' ori 7o 7=t ïuY, avec ?r(i+l) -#(ùlr=oi0 ( j < N -L. Nous introduisons l

. Théorème-28, C. |u, T. Xu, and R. , Sétil'h)est injectiae]1 contient un ensemble ré- RNpxUxlt(N-l)ll, (à(o, z(o), trlr)N-Lh

?. D. Soit-f, S. ?. , ?. .. {0, and {. , ,2n}/k # tt',|k(r,ù = Tk'(*,ù} Définition 25. L. Soit I eD, nous posorrn Sj -M x Lr2'+r\S/ :{(ae,ùzn+r) ?. M x gzn+t fYlc ? {0, Chapitre 4. Gênêricitê de I'ofuewabilitê Définition 24 2n},VIct? {0,..., 2n-L}/k * k', fk@,yl) # Tk'(r,ù} 2. (Si x U1 : {(*o,urn+r, do) ? Sj x M/aes * aeo} Nous allons partager Sï *. M en deux parties

.. .. Vir and ?. .. {0, ,i" sont distincts deux à deux et {ju...,jr} : o{û,...,ir} où o est une permutation de r éléments, uir), . . . , (fi" (ro,yL),uù)\, p.1

S. Lemme-ts and . Al, RP) uérifiant : Sô{;I\@o,"r"+t) * Sô{;?r@o,uzn+r), pour aest' Es, (xs,uz,+t) er (es

L. Lemme, Soit A2 l'ensemble iles applications

S. O{j and ;. I\, S ô{;Ilr(* o, uzn+r), pour (x s,ttr2n+r t i s) dans F

/. Soit-maintenant and . Ut-et-h-e-uz, après le lemme L5, il existe h ? Uz tel que ht ? As Nousdéduisonsalorsqu'ilexiste (T,hù appartenantàAlftA2ethr?Aa pour/?tlr. Ilen resulte qu'il existe (l,hù ?DxC*(M x U,Rr) telque SOf;I\)@o,uzn+r) + SO{j;I:r)tro,uzn+r) pour os f ds

. Il-est-facile-de-voir-que, 5y : U!3, Si. En effet, il est évident que U31r Si c Sy. D'autre part, soit (c, @ ? ^5;, nous considérons I'ensemble f dêfini ainsi f : {(k, k')/0 < k < k' <-2n et fk

{. {0 and . {0, ,s -1} alors li(r,yù * fi@,u), ce qui prouv? que 51 C U33, Sï. Nous allons donc prouver le lemme 13 pour tous les couples (xoruzn+t) et (es,rtz^+t) avec (ro,uzn+r) dans Sjl et (ds,dzr,+r) dans.Sj'?. Soient alors (a6, "r"+ù ? Sit et (ao,uzn+r) e Si'z tels Çue os f es. Nous pouvons supposer sans perte de généralité que s1 ) s2. Il existe s', e, pp.2-3

. Nous and . Fi, (a;,u;),g; = h(c;,u;) h -fi(Eo,k),z;: f (î;,tr;),g, p.1

. .. La-donnée-de-s1-parties-io, fÈ(ôo,ur), ce qui entralne eue os : to car f (.,r) est un difféomorphismer_l (éventuellementvides ) disjointesdeuxàdeuxettellesquek/In(pour0Sft<sr-1)Étantdonné un partage (10,... , /"r-r), nous dirons que les points (*o,rr"*r) et (dsruza+r) dans Sjr et Sf (sr ) s2) respectivement, sont dans la configuration (/s, -J",-1) si f,ôFtout & tef que 0<fr(2nnousavonsuk=ltketsipourtout/ctelque0<ft(sr-lnousavonsl'ensemble des indices f tel que 0 < i < sr -1 et (c6, uk) = (û;,ù;) est égal à.Ir, Chapitre 4. Généricité de I'ofuervabilitê Nous remarquons que les 11 sont disjoints deux à deux (éventuellement vides) et que sous I'hypothèse uzn+t: tr2n+r et xs { ds Io,_r) un partage de {0, 1,... ,sr -1}, soient (os, zzr+r) et (Eo,Ttzn+r) dans Sil et Sf (s1 ) s2) respectivement, dans la configuration (.Is,...,1"1J en écrivant toutes les égalites entre les éléments de la liste .L1 et les éléments de la liste ,L2, nous aurons des égalités entre les u; et les u1. Sous I'hypothese %2n+t = Ir2n+rt ces egalites peuvent être liees. Nous allons examiner la possibilité d'avoir une égffi-iiée.- Nousappelleronschalnetoutesoussuite"I;rr...rli, p.0

. En-faisant-varier-les-différents-paramètres, les valeurs de s1, s278r1ts'r, les égalités entre les termes ai, r it zi et 2i Nous obtenons un ensemble fini d'ouverts partout denses dont I'intersection est êvidemment un ouvert partout dense. Nous pouvons donc conclure que I'ensemble des couples d'applications (.f, â) vérifiant I'inégalité du lemme 13 pour des points xo # ûo

. .. 2n}-distinctsdeuxàdeuxte-'i@{jr, sur I'utilisation du théorème de Thom multijets. Soient (so,uzn+r) dans Si et (Es,trz^+ù dans M x U2n+r tel que (*o,uzn+r,-s) soit dans FJ Il existe ir (...( i" et j:,i"} où o est une permutation de r éléments, 2 I r 1 2n, La démonstration de ce lemme est analogue à celui du lemme 13 car elle est basée aussiui,)) -((.fi' (*o,ui),uir),... ,(fi

L. Zir, (ti,-r ,ùi,-rrZi,-Lry

<. Dt, Il est maintenant possible, pour ces valeure d* 4 de,trouver une fonction ft, tel que h(n;, u;) = oi et h(bi) : 0, cette fonction â satisfait

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