O. Souuent and . Consi, dère Ie ni,Iradi,cal de g, c'est I'i,déal ni,lpotent mari,mal m, obtenu par Ia sowln

. De-leptin, Pour auoi,r un résultat semblable 0,u co,s des groupes de Li,e ni,lpotents, où toute foncti ,on F eS(G/BxG/B; y,) estlenoEau d'un opérateurr(f) auec f ?S(G), Lepti'n a trai,té dans l13l le cas part'iculi,er où la polari,sati,on b est appriuoi,sée, en espérant que ça pemnettrai,t d'auoi,r, -pour les groupes de Li,e erponent'iels-, le résultat plus parti,culi'er su'iuant c

S. (. La-défini,-tion-de-i-'espace-cespace, donnée après la d,éfinition 4.L.L pour les groupes de Li,e ni.lpotents, (o, y remplace E par Cf; tout si,mplement) En fai,t, contrai,rement à I'espace des foncti,ons de Schwartz, la base coerponenti,elle Z(b) sert;ant à l'i,denti,ficati.on (4.1.1) de C?(Grz B xG/ B ; y,) auec Cf;(mr x Rp) n'a pas d'i,nfl,uence sur la "bonne défi,ni,ti'on" de cet espl,ce, uu que ses foncti,ons sont à supports compacts. Si,gnalons enfin que Lepti'n a prouué que la polarisation appri

. Démonstration, Supposons que V est i,ntégrable

. On, onc une ertensi,on holomorphe t1t a" tfs sur tout le domai'ne 2 :: IR*i]-1,1[ de C, défini,e par : _ f ,trQ),: Joet

. En and . Pas-sffisant-que-la-représentati, on r e. ê, soi,t indui'te à parti ,r d,'une polari,sati,on appri,uoi,sée b de g en I ? g*, pour que toute appl'icati'on F e c?(GlB x GIB;y,) soi,tle noyaurc"u) d'un opérateurr(f) pour une certaine foncti ,on f 'e LL(G) La pïochai,ne sect'ion a pour but de rectifi"er ce résultat et de l'améli'orer par la constructi,on d,'un rétracte, ceci, est sous réserue de remplacer I'hgpothèse "la polari ,sati,on est appri,uo'isée" par "la polarisati

Ï. Soi-ind, I. De, and G. , te à parti,r du caractère X, d" É, qui, est associ,é à Ia forme li,néai,reI e g*, et qu'on défini't par x,(e*pX) -e-i<t'x>, VX ? b, et tel que la polari,sation b: Lie(B) soit une polari,sati,on de Pukanszkg de g en l' Fai,sons référence à la section 1

L. Est-d,-e-prouuer-que-sig-/-p-x, G. , and /. P. , P : Lie(P) est un i'déal de g, alors cf yr) est i,nclu d,ans I'ensemble des noyaur. On ui,ent de prouuer par le contreeremple qu

. Auant-d,-e-généraliser-notre-résultat,-i, Ie de reprendre les calculs sur Ie même eremple c,i-d,essus, mai,s en choi,si,ssant une autre polarisati,on p qui' sera un i'déal de g' D'autre part, on peut écri,re, -Par défi'ni,ti,on de l'appli'cation 6-, que K*(f)(r,vb) : t(au) [ f (rb-rv-ru)xaa.1ra;1r;( u) d'u : u,rourt Ï r@a-'ùxAd.(ub)(D(aw-Lw) d,w, JP ceci

. On and . Qu, UQlo ) : llo, d,tr, au fait que p stabi'l'ise llo

. Qui, la remplaçant d,ans l'i,ntégrale précéd'ente-, permet de dédui're que 6(yb): ô(g)

. Enfi and . Si, mpti,fier le problème en supposant que la poilari'sati'on P est abéli,enne. It faut d,onc justi,fier qu'on ne perd pas de générali,tés auec cette suppos'it'ion

. De-la-formule-d and . Jacobi, on peut ti,rer que la sous-algèbre de Lie fp,pl est aussi' un i,d,éal d,e g, p]) son groupe de Li,e qui' est alors un sousgroupe ferrné di'sti

S. Dufai, onnée à1, onpeut d,éfini,r surglaformeli,néai'rel e g* par <T,X>::< I,X ), VX : X+ [P,P] ? 0

. Enfin, . Ia-représentation-uni, and G. Tai, notée f : i'n\Xr' Pour énoncer la propositi,on su'iuante, on se seru'ira de la projecti,on canoni'que s : î ê r 'lP, P) , de G sur le groupe quoti'ent G' proposition 1.3.2 Les ileur représentati,ons r et n o s sont équi

L. Les and . Cî, C lP x p*; x) et CS

. Définiti, Introd,ui,sons l'espace Cf; (C lexp.;X) forma par toutes les foncti'ons i , G x_p* ._-+ C, qui, satùsfont aur propriétés su'iuantes : (i) I _est i,nfin'iment déri,uable sur G x p*, (ii) f uérifie la relation de couariance V(r,q)? G x P*, i@n,ù : No(h) f@,q), Yh e P, où xc est le caractère sur P associ,é à la forrne li,néai,re q ? p* j Xo(ery X) : "-i<Q'x'., VX e P

. De-façon-naturelle, C1f xp.;X) uéri,fie la deuni,ème relati'on de couariance suiuante V(",q) ? G x p*, i(r,Ad*b(q)) : l@,q), Ci

. Ia, ep entraîne sa stabili,satr,on à toute forme li

. Rr, ,wp) i (nt,...,r*) ) --* f (wfi1,r"'wrZ*o,rrXI+ "' + r

. Notations, On ua ad,opter d,es notations semblables à celles de la défi,ni'tionL.4.4' 1. Pourp,m e N, fel quep*m: n, so'itCS(p,m,R') le sous-espace de trt

O. Qui, P. Gf, and . Qu, i a serui,t pour d,éfi,ni,r le 3" " sgstime iJe coord,onnées sur G obtenu par @. Ceci, permet l,ertension d,e ta d,éfi,ni.ti,on d,e cs(p,rn, R') pour le groupe G ' On note alors bSlClfxp,G) I'espaced,etouteslesfoncti,ons f : G - C, dontlacomposée po, @-t d,onne une foncti, cs(GlPxp,G) :{f : G cnt,R")} cLt

L. 'opérateur-d,-e-transformée-d and . Fouri, er parti,elle 'i,nuerse Fp* d,ans la di,recti,on de P" , asi,t sur CiçlP x P*;y) Par

. Onpeut, r de i eC?(CIP xp*;X) ,lafoncti,on I eCS(GIP xp,G) par la formule f @ù

. En-effet and . Tout-ce-qu-'i, est que f est bien défi,ni,e par cette erpression, pulsque la cond,i,ti,on d,u support, compact dans la di,recti,on de GIP et de Schwar-tz dans les autres, prouient d,es propriétés d,e la transforrnati

. Soi, A. Ent-ilonc-r, and U. ?g, tels que rexpU :Uexpy' Posons h:: exp(U -V) e P qui, est abéli,en, et donc rh, p.rexpUexp

I. Ains and . En-se-rappelant-d,-e-la-propri, on obti,ent /(serç v) : Fo.î@,v) : f*l* L.îrrn,q)"n'n'v'dq 1f : (*)-I x'@) î(',q)"''o'"dq z1t J p* : fll, v>d,q '27t' Jp* : Fo.f @,U): f(rexPIl

. Fi, Défin'issons surG X f,)0, lafoncti,on 1o Par io, GxOs -+ C (r,a .Ib) r_* 6(y)-LF(ry,s)

. Démonstration, . Pour-aue-fo-soi, and . Bi, en d,éf,ni,e, i,I faut s'assurer que si, dans (7s, on a A .IE z.l1o ( qui, -d,'après (4.3.5)-, est équi'ualent à A' P, alors fs(r,U .'Il) :-fo(r' z '16

Ç. G. Ensui, l1o ? f,)s, alors pour tout heP, ona io(rh,a -It,) : 6(fi-t r@ha,a) : 6(a)-L F (("ù@-'nù'a) : ô(s)-t x, pp.xv-qo(h) fo(

. Enfin and . Prouaer-ia-lissi, té d, î0, c'est se ran'ùener à I'ai,de des cartes décri,tes dans (4.3.6).à la foncti,onlR.p x Rp ) (r, ii - 6(u1Z1"r...uoZo")-tF((w121"r

. Et-d, Le prod,u'it d,e foncti'ons li,sses' La compaci,té du support d,e in d,écoule aussi, d,e celle d,u support d,e F. En effet, soi't K un conxpact de G uéri'fiant F est nulle "à l'ertéri,eur" de K'P x K'P, ou encore Yr,y?G

I. Est, K. Ent-que-le-sous-ensen-'lble, G. , K. Îlr-r-'k-+-a}-est-un-compact-d,-e, G. En-efiet-e et al., -tf 'P + 0}' c'est d,onc un cornpu,ct d,e GlP. Sa particutari,té est qu'on a si, (r,g) e G x G tel que r. PÀK' :A ou a -PnK -$, alors fo@,y) :0, en effet -Si U' P n K -û, alors F(,y,9) : 0 et donc fo(',A) :0' -S'inon, c'est r' P n K' -0, et i'l eri'ste b e P tel que gb :: c e K' Rai,sonnons par absurd,e, s,i on suppose que rA, PnK *A, abrs on pourrai't écrire ryh :: a e k pour un cer-tai,n h e P. La contradi,cti.on apparai,t dès qu'on remplace c:ub:a-rilïr-rber-IKPnK +Q a reK'P (faurcar n.PnK':û)

N. Alnii, 0, et par sui,te F(ry,U) :0 : fo(*,A)

?. G. Si and . Pour, lb e{ls, on a fo@,A'llo) : f(r,y'11)' alors le nogau de r(f) est K^(f) : f ' Autrement di't, on a io

. Démonstration, Supposons que la cond,i'ti'on i",ro : fo est uérffiée

. Mai,-s-i-coinci-'d,-e-oue, fs sur G X f,)0, et donc K^(fl(r,y):6(a)îo(ry-',Atrv(i1, p.6

. On-se-rend-compte-mai, e Ia proposition 4.3.g, pui,sque io oo"" ses propriétés d,e lissité, d,e compaci'té d,u support modulo P, et de coaari'ance, est un bon cand,i,d,at pour auoi,r une ertens'ion en une foncti'o, f e Ci GIP x p*;x)

. Le-but-d,-e-ce-paragraphe-est-d, e prouuer que toute foncti'on d,eCf;(Gllx!lo; X).se protonse en une ion"itoi d,eCf;(Clp x p.;X) . Soi,t d,onc F ?C

G. C. Par-la-sous-uari-'été-di-'fférenti-'able-de-r-*-décrite-par-m-), and . Ae-?-g, (-)), u., e RP}, où les appl'icati,ons .N e C-(Ro), pour tout | 3 i < m' Un élément e,: (or,..., a*) e M çF(*, correspond àQa: atXI +..-+ a*XI-? C)0, qui, proui,ent d,e I'acti,on ,oodiointe d,'un élément uni,que de la forme w1Zpr Ai'nsi, on a l'équi,ualence A(w) : o <+ wlZpr""tDpZ*o'Ib : atXI +

. Oi, Pour constru'ire un prolongement d" î0,-en prem'ière étape-, dans un uoi'si,nage V" de q, dT) dans R*, énonçons Ia proposi,ti

. Ct, )::p et d'im('l'f)::m)' Soi'ta" ?M' Alorsi'leri'steun système d,e coord, Proposition 1.3.11 Soi Thèse, Uni'u. de Metz

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