. Soo, n,l) la composante connexe de SO(n,I) : O(n,L) n SL(n + 1, C) qui contient I'identité

. Sp, (lHI); g* Jg : J} où g* désigne la matrice transposée conjuguée de g et où J désigne la matrice Supposons à présent que JF: C ou IHI et notons, St)(n,l) ou Sp(n,l) ou Faezq, p.11

F. Posons, *. , O. +. Iùkr, and @. , -n ( -^@ -t)' +(y - "),)) ..o (zr,çst -,))a*ay -exp ?at' + Rs2) [, "*o (-r" + R)(r2 + u\) "*p (zaçm * ys) * 2i,u(st -,rl)aray -eXp (-*fU +, io))u.*o

. Preuve, On a 0 S ln -ul< (R+v), donc 0 < lft-rld < (R+u)d

R. Comme, ou u ) 0, ceci prouve le résultat annoncé. I 3 Propriété (T) pour Sp(n,l)

G. Définitio-n-soit, . Un-groupe-topologique, and . Un-espace-d,-e-hi-'tbert, Jne action isométri,que ffine de G sur ?{ est la donnée d'un homomorphisme a de G dans le groupe Is(?t) d,es isométries ffines d,e?t tel quel'applicati, p.r+ a(g)

D. Soi, taire (continue) de G dans un espace de Hilbert ?l et b : G -+ ?{ une application continue. (i) on dit que b est un cocycle par rapport à r si b uérifie la relation b(gh) -u(g) + r(s)b(h) Vg, h e G. 7l On note Zt(G,r) I'espace uectoriel des cocyles. (ii) On di,t que b est un cobord s'il eriste un uecteur ? e ?, ):r(g)?-? vseG

. On and . Bt, G,r) le sous-espl,ce aectoriel de ZL(G,n) formé iles coborils

R. Soit-a:-g and +. Is, une action isométrique affine de G sur ?1. Sa composée avec la projection canonique Is(?l) -+ U(?{) est une représentation unitaire zr de G. Ainsi, pour tout g ? G,l'isométrie affine a(g) s'écrit a(g):b(s)+r(s)

K. On-di-'t-que-la-paire-(-g, . Est-une, and . Pai, re de Gelfand si I'algèbre de conuolutr;on C" (G\\/f ) des fonctions i,ntégrables sur G bi,i,nuariantes par K est commutatiue. Exemples de paires de Gelfand 1) Soit G un groupe commutatif et K Ie sous-groupe trivial réduit à l

A. and K. Est-une-paire-de-gelfand, 2) soit G: so(n) x R' et K: so(n)

G. Soit and . Soo, Ie groupe de Lorentz, c'est-à-dire la composante connexe contenant l'élément neutre du groupe O(I,n) des transformations de lRtfr laissant invariante la forme quadratique û-r?

. Soit-?-un-arbre, (?) I'ensemble de ces sommets. Soit G le groupe des isométries de ^9(f) Fixons un sommet rs ? S("). Soit K le stabilisateur de rs pour l'action canonique de G sur S(f); ,S(T) s'identifie àGlK, Alors, vol.et, p.9

G. Soit and . Un-gïoupe-de, Lie réel semi-simple à centre fini. Soit K un sous-groupe compact maximal de G, Alors

R. Soit, (. G. , and K. Une-paire-de-gelfand, et soit 7r une représentation unitaire irréd.uctible de G. A I'aide du lemme de Schur, on peut prôuver que HK ,le sous-espace des vecteurs invariants par r(K), est de dimension 0 ou 1 (sur C)

L. 2. Soit and G. , So,it r une représentati,on unitai,re de G sur un espl,ce de Hilbert?{ qui' ne contient pas Ia représentati,on triui,ale (uoi,r Ia remarque après la définiti,on de la topologie de FeIl, paragraphe 2.1) On suppose de plus que?lK est de dimensi,on fini,e et non nul. Alors r ne possèile presque pas de uecteurs inuari,ants. En par-ti,culier si (G,K) est une pai

. Preuve, On raisonne par I'absurde; supposons que 7r possède presque des vecteurs invariants, c'est-à-dire qu'il existe une suite généralisée (?t)l de vecteurs unités telle que Iim llzr(e)g -?, p.0

R. En-faitg, 18 dans un cadre plus général; on supposera que G est un groupe de Lie connexe tel que Hom, p.0

+. {0}, Shalom l29l) Soit G un groupe compactement engendré. Si G ne possèd,e pa,s la propri,ûé g) de Kazhdan, alors i,l etiste une représentation conti,nue unitai,re irréductible r de G telle que Hr, Théorème 2.2O

. Ainsi, ao-aL est fixe par r(K), ce qui contredit le fait que ?r ne soit pas sphérique

. :. Preuve, 1 F(r),u> . (i) Montrons que pour tout u ? 7t, l'application "f, est de classe C-sur G I K (î.e. f' est de classe C* au sens faible) Pour cela, soit pr une mesure de probabilité sur G, K-invariante à gauche. D'après le lemme 2.21, f J"f"@h)dp(h): f"@), Vs e G, où "f" est vue comme une fonction de G. Ceci est vraie en particulier si p est définie à l

/. Si and ?. Est-une-fonction-sur-g-/-k-et-si-g, on note e"f la fonction snr Gf K définie par translations à gauche , sf @): f @r)

. Le-cocycle-b-se-décompose-aussi, 1@ U: J n bxd'x, où b,r e ZL(G,r'1) est de classe C2 pour p-presque tout À e Â

D. Le-théorème-de-fubini and <. A. , F(r) >:dimx / < [ ny@)n1(Y)B^d,k,bx(g) > dt

J. Jk, Nous allons prouver que p-presque partout

. Si-n1-n, est pas sphérique, alors P1 :0, donc I'intégrande à évaluer est nulle. Supposons eue zfl soit sphérique. Alors d'après le théorème 1.15, le cocycle b1 est un cobord et donc il existe un vecteur ?x ?7{x tel que ô.r(h): z'r(h)?.r -?r

{. Le-vecteur, If)-invariant porrr presque tout À e Â. De plus, B^: rr(Y)?.1, car ô1 est un cobord, donc r < I r{k)r{Y)B\dk,bx(s) ) :( PTtr{Y)Br, b.r(g) >

I. Or, espace des vecteurs z'(.tf)-invariants est de dimension 1, donc il existe cr ? C de module plus petit que 1 telle que P,rzr.r(g)?r :6?.r' Par suite

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