. Démonstration, Prortvons ce résultat par récurrence sur dim(G)+dim(G I A)

L. Sous-cas, :il existe deux vecteurs non nuls Y1, Y2 ? î, d e iR\ {0} et une forme linéaire réelle non nulle o sur g tels que : lX'Y'l: a(X)(Y -qYz)' lX,Yr): a(X)(0Y1aYz), YX e g

@. N. Clairement, nï^_._)* ?Vr, comme ses coordonnées sont nulles sur les indices de saut de Pukanszky Bien sûr, les coordonnées de @ A .'. A T*-r), Zi coincident avec les coordonnées de b1 A. . .b^-r dans la base Zirr

/. En and . Vttelle-que, ,zn>) est très proche de f , mais différent de celui-ci, alors 0 < f (bo,I) < r. Prenons àprésentl',rn

O. Donc, est un ouvert non vide de t', contenant (b0,3'o) car f (bs,((ao)tn, p.0

>. Supposons-encore-qre_26-/-<-b and . Soit, (f étant choisie dans la section des orbites) telle que {.0, : 0 et <T,Y ): 0. Alors les représentations de erQ,i) et 4Q,T)lexpr(<5>) induites par le caractère Xfu

I. E. Si-k-est-un-indice-de-saut, Eu-t*s(t)çen+s(t

. Ii-)-l-'autre-possibilité-Étant-er, -t i gn(ln) Ç gn + gn(ln) : w

. En-particulier, Xp peut être placé dans Ia base complémentaire à b(l) dans g. En fait, comme bn-t(In-r) : bn(l*), Xt ê b*(lt) Alors 1l

{. Soit and . Xz, ,X,-} une base de g

R. Qu-'il-existe-n-e-ctg, C[g.] qui est Ad*ô-invariant, mais pas Ad*Ginvariant . Donc il existe W e 3tl(g) tel que fr

. Compte-tenu-de-la-nilpotence, on trouve après un nombre flni d'étapes 0 I fr : [x,.. . ,lx,wl. . .I e 3tr(û tet que fr # Zu(s) et 0I lx, p.3

C. Lx, Ad(exp(sX))f] : lX,Y + sZl: lX,Yl: Z, Vs ? IR, Pour ce faire, remarquons les faits suivants : (i) Comme g est nilpotente et comme on commence par une

S. En and . Zp, Yn] É 3Xçg1, alors il existe W e g c lt(g) tel que 0 I lw, zt"l: lw,lxr,vrll : -lxr,lYr,w)) -lvr,lw,xol] : lx^

L. De-plus, Yrl et lX1,lW,YÀl appartiennent à Jll(gr-r) car 3

. En-conclusion, Q. .. Pour-chaque-k-e-r:-{ù, . Qo, and . Qr, n tels que Q rc(t, h -r) -Py*(-2n i. Ad. (exp t X p) (l p-t ) ) : Q o,n(l n -r) + Q u

I. Qo and . Et, Qtt sont des polynômes sur g[_r, mais ils peuvent être considérés comme des polynômes sur g* qui ne

. De-plus and . Qr, *(l) est un polynôme G-invariant car Q t,n(l) : Q r,*(ln) : -P7x1, Yt

?. {1, Supposons que les résultats du théorème 4.1 sont vrais pour !'. dnt(V)tt : 0 V?

A. Zl-eriste-un-ouuert-dense-de-zariski, nuari,an 0 C gb,n de g* uéri'f,ant : sz p(l) d,ési,gne le polari,sation d,e vergne en l et ti fii, : S(lRd) pour tout l e O, alors, étant d,onné F ? Cî(Vrn (r,S(Rd * Rd)), il eriste / e s(G) tel que l'opérateur n{f) ad,mette conLrne noAau la fonct

. Soit-À-présent-{-e-l2, g:4)u-' e L?(C)

. De-même, Pa,6, pour presque toute I ? "4" implique que n{rlt) : Pr1fu)r11,n/u){1 pour presque toute I e A, T{Û) est aussi un opérateur de rang un dans ce cas

A. Comme and . Ar, si e * e' ,le théorème de Plancherel nous donne le résultat, p.0

. Remarque, Pour le même e, les espaces L2r,r(G) ne sont pas nécessairement orthogonaux

V. Soit and . L2, G) un sous-ensemble fermé de L2(G)

L. Supp}, défini à un ensemble de mesure nulle près, est mesurable et est indépendant du sous-ensemble dénombrable dense { to I i ? N }

. Démonstration, C'est une conséquence d'un résultat plus général de Sutherland, consulter

C. and .. L. Soi, t G un groupe localement compact, à base dénombrable, de type I, unimod,ula,ire qui est inuanant par translati,on à droi,te et à gauche^par les éléments de G. Supposons qu''il eriste un ensemble de mesure nulle N dans G tel que pour toute représentationn ?â\lf, i,l eri

L. Ici and . Son, Lnùe ertér,ieure est une sornme directe orthogonale, alors que la somme a l''intéri,eur ne I'est pas

. Dérnonstration, Appelons V I'espace dans le membre de gauche de l'égalité ci-dessus

E. .. Jr and . U4, il est possible de construire une application g, Pour cet e et pour les éléments) telle que n{g) est un opérateur non nul de rang un. En conclusion V : L2(G)

. Remarque, Le théorème précédent donne une décomposition de I'espace L'(G) comme somme de noyaux d'opérateurs aux dérivées partielles bien choisis. Malheureusement, cette somme n'est pas directe, même si elle est formée de grands blocs orthogonaux

. Alors-(-&-*-e-sgn, Y6)uor : Xn r i'sgn(e)y/' * i'apZ,pour k -1,..',n et L7

. En-somme-directe-ou, plus précisément, une fermeture de somme directe et donc une désintégration complète de la représentation régulière gauche avec multiplicités 0 et 1. ou et De plus

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