A. Mappings, T. Singularities-de-golubitsky, and . Guillemin, On commence par Ia constatation suivante : la matrice M défrnie par blocs M_ où,4, est une matrice,b x k inversible, B est une matrice kxL,C est une matrice ("-k) x k et D une matrice ("-k)x(n-k),estderang/csietseulementsional'égalité D-CA-|B:0.Pourlevoir,il suffit de multiplier à gauche par la matrice n x n inversible

. Soit-alors-(-r0 and . De-ir-'telle-que-la-famille-(-ro,.., ,uk-r) est libre, considérons la matrice M de dimension rz x (kf 1) dont les colonnes sont les vecteurs uo,uk-r) est libre, on peut extraire de la matrice de dimensions n x ,k dont les colonnes sont les vecteurs l)ot...trl,ç-t une matrice A de dimension k x k inversible. Nous allons supposer que cette matrice A est formée en prenant les k premières lignes et colonnes de la matrice [r0,..',o;,-1]. Nous écrivons la matrice M par blocs comme ci-dessus et nous pouvons affirmer que la famille (ro, . . . , u;.) est liée si et seulement si D -C A-r B : 0. Nous nous plaçons dans un ouvert, uL-) est libre et lamatrice ,4.' obtenue comme ,4 à partir de cette famille est inversible. Nous considérons la matrice M' : (t, p.la famille

. T. Les-cartes-dej4,-i:-! and . Âoî, ,fl dont les éIéments sont les classes dtéquivalences des éléments de IR' dont la i" composante n'est pas nulle. Par ex. U1 est I'ensemble des droites vectorielles de IR' dont un vecteur directeur est un élément z tel que q I O.Nous allons définir une application gi de Ui dans IR."; dans ce qui suit nous allons raisonner uniquement avec rp1, Itargumentation étant identique pour Ies autres cartes. i chaque élément (40Â^-rl) où Iest l'élément de IR'qui représente I et dont la première composante vaut 1, A,1) de Ur, nous associons Ia suite finie Nous notons V7, Itensemble des suites de n vecteurs (o0

I. Nous-savons-que-codim-vkie-et-il-est-clair-que and I. , J1 : grr(Vk), malheureusement, rp1 n'est pas une submersion, ca,r Ia dérivée par rapport à t de 91(40A,1) a pour première colonne un vecteur dont la première composante est nulle. Nous allons donc démontrer que p1 est transverse à Vlr. Pour cela nous commençons par caractériser le plan,tangent à V1, ; étant donné que Vt est caractérisé par l'équation D -CA-rB:0 (nous employons les mimes notations que dans Ie lemme précédent, les vecteurs (to,.. .,tn-t) tangents à V1

A. , .. .. , and A. De, +t x F]-1 tel que çrk) ev*,Iadifrêrentielle de 91 est une application linéaire de Soit 16-1 : Ano-rÂ*-2, nous allons considérer uniquement la dérivée partielle de 91 par rapport à Atu-r. Si cette dernière matrice n'apparaÔt pas dans Â;.-2, nous avons dp1(e), p.21

. Et-mâ12îs, En remplaçant (f1, Ht)T et (L,L')T par les composantes correspondantes de dg1(e) dans le membre de droite de (4.2), on trouve (-ce-t I^-k) MÂk-2Ts et en jouant sur Ia matrice M, I'expression MÂn-z\o peut itre rendue égale à un vecteur arbitraire, on p_eut donc trouver_n -_k (la codimensjon de V1") matrices Mt,...,Mn-t, de sorte que les vecteurs M1Â1Mn-*Âx-2ln sont indépendants et ne sont pas dans I'espace tangent àV1

S. La-matrice-atu_ and . Rppu, uÔt dans Âr-2, I'expression de dg1(e) est un peu plus compliquée, nous avons d91(e), 0):(O,ûo(M,to),...,rhx-z(M,îo7,MÂo-rlo*Aru-,rb*-z(M,To)

. Qui-peut-itre-rendue-non-nulle, Conclusion Il est maintenant facile de voir que I'ensemble des matrices de t+t x "r//r,-(R)"+r ,. p^-1 qui vérifientleshypothèsesdulemme2dansnotrepapierestdecodimensionn-(k+1) +(k+1lr')p, en effet, pour dire les choses vaguement (mais ceci peut itre rigoureusement démontré, aux conditions sur les matrices Ai, on rajoute (/c + 1 + r')p équations portant sur les matrices Cl d'oùr I'expression de la codimension, { (i) -(#,) ,-'r} : o AppRpNotx 83

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