quasi-continue , par definition, pour tout e > 0 il existe un ouvert U,cap(U) < etelqueulpN\u,RN\(J -----+ lR estcontinue.Donc,{u) c} c {zle ,
4 est un ouvert on retrouve la définition classique (via le théorème de Hedberg) ,
De 2) on a que uen,I + ue,1 fortement dans Hl(D).O. va démontrer que 1)(2n,f : Pst(a.u. Pour simplifier les notations on note 'u,n:: Pnà1;,^u. De la definition de la projection on a Yô e/4(CI,) [ r@*-u)vSdr:o JD ce qui revient à écrire I -L, CI) Preuve On commence avec 2) + 3) Soit u ? Hè(D) et on définit T : -Lu >:< f ,Ô > au sens de la dualité, ce qui implique un: UQn,l' 3)+a) ,
Soit u,"o e I/01(Q,È) une suite telle que yçrnk z, faiblement dans Hê(D) De la definition de la convergence faible on a que Vô e Hà@) q u,nn,ô ), pp.1-2 ,
CI"-) il résulte Pn;{n^r1unb : unk. On utilisant le fait que la projection est un opérateur auto-adjoint, ainsi que 3) on obtient : ( PaË(o,*)urr",Ô ):z-tLnilPn, Pnà@)Ô ):( Psr19)u,Ô ] . Q.3.9), 1101. ,
{-t) 4)+1) On considère la suite (ue.,1),. Otl veut démontrer qu'il converge fortement dans, ) V?fS u9, p.1 ,
n)e une sous suite arbitraire. D'après 4)I|l42) on sais que uLnt ,
D'après 4)M1) il existe Q" e U[(A,) telle lse Ôn ------Ô fortement dans H3@) On considère /, comme fonction test pour zs ,
conjecturée par Pôlya et Szegô en L950 [58] et démontrée par Marie-Therese Kohler-fobin en L970, exprime que le produit PÀl est minimum pour le disque: P(CI)À?(CI) > P(B)^?(B) ,
Vu que les domaines optimaux sont disconnexes (en 2,3 et respectivement 4 composantes), il est suggéré que les optimums sont 2,3 respectivement 4 disques identiques et disjointes. Les résultats obtenus pour, pp.4-10 ,
16 -Haut gauche : Masque pavage 64 x 64, Haut droit : Reconstruction pavage 64 x 64, Bas gauche: Masque pavage 32 x 32 ,
algorithme sont les suivantes : 1.. obtenir une configuration assez bonne avec la méthode de recuit simulé, 2. pour i: I,1 (I=le nombre d'iterations), executer -tirer aléatoirement une boule, -calculer la dérivée topologique en considérant comme domaine non perturbé,le domaine qui contient deja les autres n -1 boules -introduire la n-ième boule , là ou la dérivée topologique est la plus négative ,
Kx :: u!:rB(ri, s) est la réunion de N boules identiques centrées êrrr,i,i, : I,..., lù, de rayon e. On suppose que les boules ne se superposent pas. Soit Às(e, K) la première valeur propre du (5.4.1) ,
G*(n; rs) est la fonction de Green pour conditions(r; r,6) est sa partie régulière qui sont données par : où la fonction p( rr, ..., rN) est définie par N p(rr, ..., rr) -t {R*(*i; r) + I NG*(ri; ro)}. j:L k-I;kli LG, p.ù-ô rl-O ,
Jpyrr-r k:L Iog I(to rt,)ou,*' -rnÊr,u'a*,*'I + t 4r'r 'k ,
on note que maximiser Àe (e, K) revient à minimiser la fonction p(rt ,
Pour cette confguration,la fonction p dans (5.4.2) est donnée par p : p.l(2n), où -tF ' ''t 'z -L L nk ,
dans [49],les configurations suivantes sont obtenues, pour N : 6 iusqu'à N : 25 ,
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