. En and . Étant, quasi-continue , par definition, pour tout e > 0 il existe un ouvert U,cap(U) < etelqueulpN\u,RN\(J -----+ lR estcontinue.Donc,{u) c} c {zle

. Si, 4 est un ouvert on retrouve la définition classique (via le théorème de Hedberg)

M. and ?. Ci, De 2) on a que uen,I + ue,1 fortement dans Hl(D).O. va démontrer que 1)(2n,f : Pst(a.u. Pour simplifier les notations on note 'u,n:: Pnà1;,^u. De la definition de la projection on a Yô e/4(CI,) [ r@*-u)vSdr:o JD ce qui revient à écrire I -L, CI) Preuve On commence avec 2) + 3) Soit u ? Hè(D) et on définit T : -Lu >:< f ,Ô > au sens de la dualité, ce qui implique un: UQn,l' 3)+a)

M. Donc-la-propriété and . Est-vérifiée, Soit u,"o e I/01(Q,È) une suite telle que yçrnk z, faiblement dans Hê(D) De la definition de la convergence faible on a que Vô e Hà@) q u,nn,ô ), pp.1-2

?. Comme-u,-nn, CI"-) il résulte Pn;{n^r1unb : unk. On utilisant le fait que la projection est un opérateur auto-adjoint, ainsi que 3) on obtient : ( PaË(o,*)urr",Ô ):z-tLnilPn, Pnà@)Ô ):( Psr19)u,Ô ] . Q.3.9), 1101.

. Parconséquentu, {-t) 4)+1) On considère la suite (ue.,1),. Otl veut démontrer qu'il converge fortement dans, ) V?fS u9, p.1

. Soit, n)e une sous suite arbitraire. D'après 4)I|l42) on sais que uLnt

@. Soit and . I4, D'après 4)M1) il existe Q" e U[(A,) telle lse Ôn ------Ô fortement dans H3@) On considère /, comme fonction test pour zs

. Cette-inégalité-isopérimètrique, conjecturée par Pôlya et Szegô en L950 [58] et démontrée par Marie-Therese Kohler-fobin en L970, exprime que le produit PÀl est minimum pour le disque: P(CI)À?(CI) > P(B)^?(B)

J. Testé-cette-conjecture-en-obtenant-la-boule-p\1, O. , and Q. , Vu que les domaines optimaux sont disconnexes (en 2,3 et respectivement 4 composantes), il est suggéré que les optimums sont 2,3 respectivement 4 disques identiques et disjointes. Les résultats obtenus pour, pp.4-10

. Ftc, 16 -Haut gauche : Masque pavage 64 x 64, Haut droit : Reconstruction pavage 64 x 64, Bas gauche: Masque pavage 32 x 32

. Dans-ce-cas, algorithme sont les suivantes : 1.. obtenir une configuration assez bonne avec la méthode de recuit simulé, 2. pour i: I,1 (I=le nombre d'iterations), executer -tirer aléatoirement une boule, -calculer la dérivée topologique en considérant comme domaine non perturbé,le domaine qui contient deja les autres n -1 boules -introduire la n-ième boule , là ou la dérivée topologique est la plus négative

. Ici, Kx :: u!:rB(ri, s) est la réunion de N boules identiques centrées êrrr,i,i, : I,..., lù, de rayon e. On suppose que les boules ne se superposent pas. Soit Às(e, K) la première valeur propre du (5.4.1)

. Dans, G*(n; rs) est la fonction de Green pour conditions(r; r,6) est sa partie régulière qui sont données par : où la fonction p( rr, ..., rN) est définie par N p(rr, ..., rr) -t {R*(*i; r) + I NG*(ri; ro)}. j:L k-I;kli LG, p.ù-ô rl-O

*. Jst-p and . Log, Jpyrr-r k:L Iog I(to rt,)ou,*' -rnÊr,u'a*,*'I + t 4r'r 'k

. Dans-ce-contexte, on note que maximiser Àe (e, K) revient à minimiser la fonction p(rt

$. Ici, Pour cette confguration,la fonction p dans (5.4.2) est donnée par p : p.l(2n), où -tF ' ''t 'z -L L nk

.. Xr, dans [49],les configurations suivantes sont obtenues, pour N : 6 iusqu'à N : 25

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