. Dans-le-tableau-ci-dessus, pour p .fixé, le speed-up est croÎssant par rapport à n, tandis que pour n fixé, il est décroissant par rapport à p. En plus, quand le nombre des processeurs augmente, le speed-up s'écarte de plus en plus de la droite S = p. Ceci est dû aux échanges entres les processeurs et à la granularité de l'algorithme parallèle de la factorisation LlJ ( voir, par exemple [23] ) . Le comportement du speed-up que nous avons trouvé pour la factorisation LlJ

. Maintenant, pour le calcul de Fh il ne reste que la parallélisation du calcul de 1ih, donné par (3.94) et de l'intégrale Fh

. Le-calcul-de, 64) avec g = -Du'(B)('ljJiVO) . v(B)

. Pour-tout-i,-la-matrice-de, 64) est celle construite pendant le calcul de Fh, donc on ne la calcule pas. Alors, il ne reste

. Dans-c, la partie du calcul est divisée par p, tandis que les processeurs n'échangent pas de messages entre eux

]. R. Bibliographie and . Adams, Sobolev Spa ces, 1975.

J. P. Aubin, Approximation of Elliptic Boundary-Value Problems

J. P. Aubin and A. Cellina, Differential Inclusions, 1984.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01075629

J. P. Brancher, J. Etay, and O. Sero-guillaume, Formage d'une lame, 1983.

H. Brezis, Analyse Fonctionnelle, Théorie et Applications. Masson, 1987.

J. C. Optimisation, Théorie et A lgorithm es, 1971.

J. Céa, Problems of Shape Optimal Design, volume l,II. Optimization of Distributed Parameters Structures, 1981.

P. G. Ciarlet, Introduction à l 'analyse numérique matricielle et à l'optimisation, 1982.

D. Colton and R. Xress, Integral Equation Method ln Scattering Theory, 1983.

M. Cosnard and D. Trystram, Parallel Algorithms and Architectures, 1995.
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00857122

M. Costabel, Principles of boundary element methods, Computer Physics Reports, vol.6, issue.1-6, 1987.
DOI : 10.1016/0167-7977(87)90014-1

M. Costabel and E. Stephan, Boundary integral equations for mixed boundary value problems in polygonal domains and Galerkin approximation, Banach Center Publications, vol.15, issue.1, 1985.
DOI : 10.4064/-15-1-175-251

O. Coulaud and A. Henrot, Numerical Approximation of a Free Boundary Problem Arising in Electromagnetic Shaping, SIAM Journal on Numerical Analysis, vol.31, issue.4, 1994.
DOI : 10.1137/0731058

C. M. Delfour and J. P. Zolesio, Velocity Method and Lagrangian Formulation for the Computation of the Shape Hessian, SIAM Control and Optimization, 1991.
DOI : 10.1137/0329072

J. E. Dennis and R. B. Schnabel, Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations
DOI : 10.1137/1.9781611971200

J. Descloux, On the Two-Dimensional Magnetic Shaping Problem without Surface tension, 1990.

D. Gilbarg and N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, 1983.

E. Giusti, Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation, Birkauser, 1984.
DOI : 10.1007/978-1-4684-9486-0

Y. Goto and N. Fujii, Second-order numerical method for domain optimization problems, Journal of Optimization Theory and Applications, vol.15, issue.3, 1990.
DOI : 10.1007/BF00939648

W. Groop, E. Lusk, and A. Skjelum, Using MPI, Portable Parallel Programming with the Message Passing Interface, 1994.

E. Haug and B. Rousselet, Design Sensitivity in Structural Mechanics . Effects of Shape Variations, Journal of Struct. Mech, vol.10, pp.273-310, 1982.

A. Henrot and M. Pierre, Stability of equilibria in electromagnetic shaping

A. Henrot and M. Pierre, Un probl??me inverse en formage des m??taux liquides, ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, vol.23, issue.1, 1989.
DOI : 10.1098/rspa.1981.0063

URL : https://www.esaim-m2an.org/articles/m2an/pdf/1989/01/m2an1989230101551.pdf

A. Henrot and M. Pierre, About existence of equilibria in electromagnetic casting, Quarterly of Applied Mathematics, vol.49, issue.3, 1991.
DOI : 10.1090/qam/1121687

A. Henrot and M. Pierre, About Critical Points of the Energy in an Electromagnetic Shaping Problem, volume 178 of Boundary Control and Boundary Variation, Lecture Notes in Control and Information Sciences, J .P. Zolésio, 1991.

G. C. Hsiao and W. L. Wendland, A Finite Element Method for Some Integral Equations of the First J(ind, Journal of Mathematical Analysis And Applications, vol.58, 1977.

R. E. Klein, W. L. Man, and . Wendland, On Neumann's Method for the Exterior Neumann Problem for the Helmholtz Equation, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol.57, 1977.

V. A. Kondrat-'ev and O. A. Oleinik, Boundary Value Problems For Partial DifferentiaI Equations in Non-Smooth Domains, 1983.

R. Kress, Linear Integral Equations, 1989.

P. Lascaux and R. Theodor, Analyse numérique matricielle appliquée à l, 1987.

M. Masmoudi, Outils Pour la Conception Optimale de Formes, Thèse d'État, 1987.

S. G. Mikhlin, Multidimensional Singular Integrais and Integral Equations, International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics, vol.83, 191965.
DOI : 10.1007/978-3-642-61631-0_12

F. Murat and J. Simon, Quelques résultats sur le contrôle par un domaine géométrique, 1974.

F. Murat and J. Simon, Sur le contrôle par un domaine géométrique, 1976.

F. Murat and J. Simon, Etude de problemes d'optimal design, Proc. of the 7 th IFIP Conf. on Optimization techniques. J. Céa ed., Lecture Notes in Comp. Sei. 41, pp.54-62, 1976.
DOI : 10.1007/3-540-07623-9_279

J. C. Nédélec, Approximation des équations intégrales en Mécanique et en physique, 1977.

A. Novruzi and J. R. Roche, Second Order Derivatives, Newton Method and Applications to Shape Optimization, Journal on Seientific Computing

O. A. Oleinik, A. S. Shamaev, and G. A. Yosifian, Mathematical Problems in Elasticity and Hemogenization, Studies in Mathematics and its Applications, 1992.

M. Pierre and J. R. Roche, Computation of Free Surfaces in the Electromagnetic Shaping of Liquid Metals by Optimization Aigorithms, Eur. J. Mech. BjFluids, vol.10, issue.5, 1991.

M. Pierre and J. R. Roche, Numerical simulation of tridimensional electromagnetic shaping of liquid metals, Numerische Mathematik, vol.6, issue.3, 1993.
DOI : 10.1007/BF01385748

URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/inria-00076911

R. Rannacher and W. L. Wendland, On the Order of Pointwise Convergence of Some Boundary Element Methods, 1985.

R. Rannacher and W. L. Wendland, Pointwise Convergence of Some Boundary Element Methods, 1991.

B. Rousselet, Shape sensitivity of a membrane, JOTA, pp.595-623, 1983.

B. Rousselet, Static and Dynamic Loads, Pointwise Constraint in Structural Optimization. Optimization, Theory and Aigorithm, Hiriart- Urruty, Oettli, Stoer eds, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, pp.225-238, 1983.

B. Rousselet, Etude de la Régularité des Valeurs Propres par Rapport aux Déformations Bilipschitziennes du Domaine. CRAS 283, série A, p.507, 1976.

J. Simon, Differentiation with Respect to the Domain in Boundary Valu e Problems, Numer. Funct. Anal. and Optimiz, vol.2, issue.788, 1980.

J. Simon, Optimum Design for Neumann Condition and for Related Boundary Value Problems, volume nr.l00, Lecture Notes in Control and Information Sciences, 1988.

J. Sokolowski and J. P. Zolesio, Introduction to Shape Optimization. Shape Sensitivity Analysis, 1992.

J. T. Lu-factorization, Parallel MPI Version 6

E. F. Van-de and . Velde, Concurrent Scientific Computing, 1994.
DOI : 10.1007/978-1-4612-0849-5

W. Wendland, Die Behandlung von Randwertaufgaben im [R3 mit Hilfe von Einfach-und Doppelschichtpotentialen, Numerische Mathematik, vol.11, 1968.
DOI : 10.1007/bf02161886