, 17(r))r.to,4 est à trajectoires continues et à accroissements indépendants, Leprocessus
,
Qà(V) muni du produit scalaire 1u,a )o:( Q-Èu,Q-*u >, est un espace de Hilbert et l'espace L3: Lz(Vo,11) des opérateurs de Hilbert- Schmidt de Ve dans un espace de Hilbert .Ff est, muni de la norme llvll?s : llvgà ll2 : ?r(ùgv ,
,
, L!, nous définissons les normes /ftr llldlll, : (n lo" llô,ll',sl,)u, t e fo,rl et nous notons N?r(0,7;LB) l'espace de Hilbert des processus, p.1
,
, Wt(t))re1o,4 un Qtprocessus de Wiener à valeurs lans U et (W2(t))te1o,rj un Q2-processus de
, Wiener à valeurs dans I/, où Çr et Qz sont des opéïateurs positifs, symétriques et traçables définis sur U et V respectivement De plus, nous supposons que les processus de Wiener (lfr(t))r.to, (t))teto,rl sont indépendants, pp.1-2
4 le processus stochastique à valeurs dans I/ x V, solution du problème de filtrage non linéaire : (5. 1) y: Io' G(x")d,s +w2(t) ou: (H1) Xs est donné dans, I ,
, H2) L'application, p.0
,
bornée et admet des dérivées du premier et deuxième ordre continues et bornées, notées G' et G" respectivement . De plus, nous supposons que pour tout r ? .F/, la fonction G" (r) est dans L@3; V) (l'espace des fonctions linéaires de .[! dans V) et I'application iL F+ G ,
,
, Afin de définir le filtre associé au problème de filtrage non linéaire (5.1), rappelons Ia notation suivante
H,lR) I'espace linéaire des applications $ de H dans IR admettant des dérivées de F!échet jusqu'à l'ordre ,k, bornées et uniformément continues ,
, et pour toute fonction $ de UCI nous défrnissons le filtre zr1 associé au système (5.1) par : rt(ù: Etô6ùl!
, où )r : o{Yr,O ( s < t} est la tribu engendrée par les trajectoires de I'observation jusqu'au temps f
,
nous utilisons la méthode de "la probabilité de référence" pour définir une nouvelle probabitité sous laquelle le processus (Y1)x?[0 ,
, r1 le processus stochastique défini pour tout t ? [0 dy, )v -; lr'llc
, par utilisation de la formule de Kallianpur-Striebel, on en déduit que les processus n1(S) et rt, pp.1-1
, En tenant compte de cette dernière remarque, nous pouvons démontrer le résultat principal de ce chapitre
, Ies appli'cati'ons y à ot(A,) ety r-+ rt(A,) sont conti,nues deC(l},fl,V) dans M+(H)' l'espace des mesures
,
,
A, ô) sont localement lipschi'tzi'ennes de C(l},Tl,V) dans IF ,
Soient (An)n>o une suite de C([0, T1,V) convergeant vers 3r' et ,
, 5, il nous suffit de prouver que la suite (o1(gr, >o converge verc o{9
Définition 5.4.4, nous obtenons : ot(un,ô):E(ô(xr) zr(a^)): [ ô6r) z{y,)d,P ,
Zr(A^))^>s converge presque sûrement vers le processus ô(Xr)Zr(a) et, il existe une constante positive K telle que ld(Xr)Zr(A)l 3 K presque sûrernent. Donc, d'après le théorème de Lebesgue, nous avons : ,ITt lrofx,l z,(a*) d,P : trotx,t z{v) d,P c'est-à-dire : 'IT-ot(an' Ô) : o' ,
,
, Prouvons maintenant la deuxième partie du Théorème 5.4.5, c'est à dire que I'application y r-+ ot(y,ô) est lipschitzienne
il existe une constante positive C1 telle que ll,owazao, pp.5-7 ,
,
A) : exp(%(g)). nous montrons facilement qu'il existe une constante positive C2 telle que : lzr(a) -zr ,
, avons: tv(a) -v(a')t 3 ti f ,".'rr'"1'-oor!1,' ,',ir,l"r^*")d,w1(s) >v I rt */. | < s(s) -a'G),G'(x,)F(x") >u ldt *; l,' | < s, G"(x") (*r*"lqÏ) (oro,oÏ)
R(x")d,wr(s) tu l) _.^ * est une (Ft)tep,rlmartingale locale, nous obtenons, en prenant l'espérance J;Inn la probabilité P dans les deux membres de cette inégalité : *; E (1,' t.s(s) -u'(s) ,
comme toutes les fonctions apparaissant dans l'expression précédente sont bornées, I'inégalité de Cauchy-Schwarz entraîne que lrtut l -v(a')ld,P < crlla -u'll* où C3 est une constante positive ,
, 7) et (5.8) nous avon lrr(a, ô) -or(a' , ô)l < cr cz lrtu@ -v@')ldP er, en utilisant la majoration obrenue pour lrt\t l -V(a)ldP dans (b.9), nous en déduisons qu'il existe une constante positive C (C : CtCzCù telle que lor(a, ô) -or(y', ùl s c lla -a
, ce qui implique que I'application U è ot
de manière analogue qu'en dimension finie, etre o1(!,1)-1 est borné, nous déduisons de l'inégalité (5.10) que l'applicatiorL A â rt(A,ô) est localement, IR. tr L04 Bibliographie [1] N.U.Ahmed, Nonlinear filtering for stochastic differential equations on Hilbert spaces. Actes de 14th IMACS World Congress, Georgia Tech, pp.5-8 ,
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