, Bz
, Grace à (3.29),on sait que eQ) -,bQ) : or.h-r or
, où h1 -21 -a, ce qui donne en dérivant : v'Qr) -rh'Qt) : ot +b\
, 32) on étudie le terme, B2 : BL Bz
,
+ "(hD).(or.hr-r a2, hl+ .... + r ,
On a en effet: (-orb, + arbr) ,
, 29) et (3.25) on voit que le terme t.B2 pett s'écrire (zz - !Qt\.)\c'z + "" I gtn?D, un terme lui aussi n fois dérivable eî zL e!, où le premier coefficient éventuellement non nul est celui de hl En utilisant, pp.22-25
,
, On sait q',re # : Br * t
fonction A est donc une fonction C-en a des variables z1 et z2 sur ,
,
1 -0).u'r: [t ft-0).u\et gt étantstrictement décroissante ,
, Et Ia démonstration sera ainsi terminée
, Cas particulier où les fonctions fi sont toutes nulles Théorème 3
un) sont indépendantes de i, i.e. a;(u1, un) : d(u) , la solution du problème (3.1) est unique ,
, Il est nécessaire de supposer que Ies a;(u1...un) sont indépendantes de i car dans le cas contraire on a le théorème suivant Théorème 3
, Si les a;(u1 . . .un) ne sont pas indépendantes de i, il n'y a pas forcément unicité de la solution de
, Démonstration du théorème 3
,
, On sait de plus, par définition que les fonctions ul sont minorées par une constante strictement positive
, On va définir les fonctions a; (i : 7,2) en utilisant les fonctions u; et u; (i : I,2)
, Soit a; défini de la façon suivante: pour d :I,2. Si y ? lu2(u;r(r)),ur(urt(r))] on posera (pour r elB1,B'rl) t:t(a), p.2
, u2(u;r (r)) -u2(u, | (x)) a{x,Y): -#6: ,*6I Pour r
, ffi: niD Po'* r) B', ;d6 pour y > ur(u;r (n))
, u2(ur t (r))1, y : t.uz(ur-t (r)) + ( 1 -t), p.2
, les fonctions o; sont continues sur tout intervalle de la forme (C, D)xft où Bt 1C < D 1Bt, car les fonctiorrs Llt
, -al@r[(Br)) : zl(0) et que u',i(ur'(Bi)) : ul@rr(Bi)) : u'(l),les fonctions ai sont donc continues partout. On vérifie aisément que a(u1,u2).u'i: L -a(u1,u2), On sait de plus que ul
, Les couples (ur,u2) et (q,uz) sont solutions du systéme (3.40) Ce qui termine la démonstration, 1993.
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