, Bz

, Grace à (3.29),on sait que eQ) -,bQ) : or.h-r or

, où h1 -21 -a, ce qui donne en dérivant : v'Qr) -rh'Qt) : ot +b\

, 32) on étudie le terme, B2 : BL Bz

+. Bl:-ltr.-o,

+. , + "(hD).(or.hr-r a2, hl+ .... + r

. Dans-b-'r,-le-terme-en-hl-disparait, On a en effet: (-orb, + arbr)

, 29) et (3.25) on voit que le terme t.B2 pett s'écrire (zz - !Qt\.)\c'z + "" I gtn?D, un terme lui aussi n fois dérivable eî zL e!, où le premier coefficient éventuellement non nul est celui de hl En utilisant, pp.22-25

!. and T. ,

, On sait q',re # : Br * t

L. , fonction A est donc une fonction C-en a des variables z1 et z2 sur

. Au-voisinage-de,

. En-effet-ft,-h-'@r, 1 -0).u'r: [t ft-0).u\et gt étantstrictement décroissante

, Et Ia démonstration sera ainsi terminée

, Cas particulier où les fonctions fi sont toutes nulles Théorème 3

. Dans-le-cas-où-les-au1, un) sont indépendantes de i, i.e. a;(u1, un) : d(u) , la solution du problème (3.1) est unique

, Il est nécessaire de supposer que Ies a;(u1...un) sont indépendantes de i car dans le cas contraire on a le théorème suivant Théorème 3

, Si les a;(u1 . . .un) ne sont pas indépendantes de i, il n'y a pas forcément unicité de la solution de

, Démonstration du théorème 3

. Dans-le-cas,

, On sait de plus, par définition que les fonctions ul sont minorées par une constante strictement positive

, On va définir les fonctions a; (i : 7,2) en utilisant les fonctions u; et u; (i : I,2)

, Soit a; défini de la façon suivante: pour d :I,2. Si y ? lu2(u;r(r)),ur(urt(r))] on posera (pour r elB1,B'rl) t:t(a), p.2

, u2(u;r (r)) -u2(u, | (x)) a{x,Y): -#6: ,*6I Pour r

, ffi: niD Po'* r) B', ;d6 pour y > ur(u;r (n))

, u2(ur t (r))1, y : t.uz(ur-t (r)) + ( 1 -t), p.2

, les fonctions o; sont continues sur tout intervalle de la forme (C, D)xft où Bt 1C < D 1Bt, car les fonctiorrs Llt

, -al@r[(Br)) : zl(0) et que u',i(ur'(Bi)) : ul@rr(Bi)) : u'(l),les fonctions ai sont donc continues partout. On vérifie aisément que a(u1,u2).u'i: L -a(u1,u2), On sait de plus que ul

, Les couples (ur,u2) et (q,uz) sont solutions du systéme (3.40) Ce qui termine la démonstration, 1993.

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