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, -(H6) sont satisfaites dans le cas particulier t.litclraquetrouffestuneboulederayona.oùa':Cg6n/n_zpourn,> et a, : e-co, Exemple 2.L Les hypothèses (H1) avec Co ) 0 et dans une telle géométrie on peut calr:uler explicitement les fonctions e?k, rer et Lt* qui vérifient (H1)-(H6) (voir

. Notez-aussi-que, le cas où le diamètre des trous o, est du même ordre que e corresponcl )r l'horrrogénéisation classique

, Derns tout ce qui suit, on se place dans le cadre des hypothèses (H1)-(H6) On définit Ia matrice M e (lM-t'-{CI;;'*' par (voir

, .1) Mek: [Lk

, Ciette uratrice est symétrique (voir Allaire[1])

, Soit-le prolongement par zéro dans les trous. Rappelons un résultat concernant Ie pr

. ^9-'i,-eriste-un-opérateur-h, n,t (H6) al,ors l.'oytéral.eu,r P, défi,ni par < V(Prqr) ,u ):1Vqr, Rru > VlJe H[(f))"', r:.st tt,n, opéra,teur de prolongement linéai,re et continue de Lf;(Ar) dans rS(CI) tel, q,u,e lr,s rnn,rl,i,t'inns suiuantes sont sati, Proposition 2.2 (AIIaile [1])

. '. , Ar) i,i) llP,q,llrArol < Cllq,llrAro.l 'i,'i,'i, ) llV (P? q,) ll u -'( o ) < C llV q,l I n -' r o. I

, Contt'ôle optimal et terme étrange d'un problème de Stokes

, Sorts les hvpothèses ci-dessus. on a alors le résultat suivant

, le problème (1.3) ad,met troi,s Ttrobl,è.m,es limites d'ifférents : ('i,) S'i, ]ïà o,: +oo alors(Ç,P,p,) conaergeuers(u,p) dcrnslfot(fl)" xLfi(A) fort, or\ (rt.p) est I'unique solut'ion du problème de Stokes (, Théorème 2.3 (Allaire

. Aiel, LB(A) faible, or\, (tt.p) est I'un'ique solution de l'équati, pr) conaerge uers

, avec une mise à l,ecirelle dépenclant de or), ri Jr$ oe :0 alors il existe une matrice 1luIs telle que, Remarque 2.3 Sous des hypothèses similaires à (Ht)-(H6), p.pr

, converge fortement vers (z,p) dans L'(Q). x L2o(A), où (g,p) est I'unique solution d1 problème de Darcv

, lus cle détails concernant ces hypothèses et la matrice À

H. Et-convergence-d-'energie,

. Dans-cette-partie-et-dans-la-suivante, on supposera que (3.1) lim or:a)O

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, Uad

. Llod, , pp.0-2

, Llod: {e e L2(çl) | Xoth < 0 < xorb" pp dans 0} corlespondant respectivement aux cas (5.1), (5.2) et

, acun des troi,s cas (5.1)-(5.3), on a q'u,e l,e contrôle opti,m,al,0! uét"i,ft,e (qto,r ertraction, de sous-sui.tes): i'l eri,ste Of, e U, Lerrrme 5.L Dans ch

, Démonstration

. Dans-clra, Ia norme ll"'llrr. cle la solution u, ? I/, tle l'équation d'état (3.1) où I'on a remplacé I, par O., est borné indépendamment cle a et oomme B, il en découle que J.(Or) est uniformément bornée Pal conséquent en utilisant I'inégalité (5.4), onul; est une suite bornée dans Lt(A) r;t clonc il existe une sous-suite qui converge faiblement vers 9fi dans .L2(f)) faible

D. , ès la définition de Llo4, iI est clair que si 0 ? Uoa alors ffid ? Uâa Comme e; -dfi clans L'(A) faible, on a dfi ? l,laa. I

, Contrôle optitnal et homogénéisation pour le problène de Ia torcion éIastique, p.724

, contr'ôle optimal Théorème 5.2 Pour 0 el,ln.a fi,ré, on cons,idère u ? Hê,(Q) soluti,on de (3.2L). Soi,t ,In l,o .fon,cti,on coû, Jo@):! [anvu.vud,r*+ f Lo*

, Jaxo

R. Al and . Ofi, Jo@

. De, 12) J11+(d:) : Jo(Pô)

, Soit u!l'état optimal associé au contrôle optimal (solrrtion du problème (1.2) avec 0, : dJ dans le membre de droite de l'équation rl'ritat) En utilisant Ie fait q"" ll4llr,1o,; est bornée, on a llY P,ulllptot est bornée et rlorrc:pal I'inégalité de Poincaré llP,ulllrr(o) est bornée, Démonstration Première étape D'après le Lemme 5.1

, est bornée . il en résulte (par extraction de sous-suites)

, 13) P,u!' u* dans Hd(CI) faible

, où z* est solution de (3.21) avec d : 0ô dans le membre de droite de l'équation d'éturt

, Deuxième étape

S. Hâ, CI,) solution du problème (1.2) avec &d .orrrrne contrôle (0 e t

, C)rnttrôle optimal et homogénéisation pour Ie problème de la torsion élastique, p.125

, r:'r:st r\ ctire : (5.14)

, 16) ( 5.18 ) div (ArVu, p.0

, ue : constante Xr0 Xo dans f,)

, sur ôO sur ô4

, Conrme I:e ^ o Xo (5.15)

, oir rl est solution de lur,o,o-e.ne: Ir,ro* L'(a) faible

, Xo Ja Xo Par conséquent, en utilisant (5.25) et (5'27), on obtient J, 0526.

*. De-la-même-manière-vu and . Ja, 1)' on a rf (5.28) | a, p.0

,

, Quatrième étape En passant à la limite dans I'inégalité Y0 el

. Et-en-utilisant, 1, on obtient En plenant en particulier d:0ô dans I'inégalité ci-dessus, on a J're) ,-t, IBtv u*, Ie Lemme, vol.4

, 31) n1j

, Contt'ôle optimal et honogénéisation pour Ie problème de la torsion éIastique, p.128

, Euonçons le résultat suivant démontré dans

, Proposition5, vol.3

, Soit 4 -9o dans trp(f)) faible. Alors (5.32) limipf [ 1e

, On cléduit de la proposition 5.3 et du lemme 5.1 que (5.33) lirninf [ (e)ror> [ (1il'z dr e-o Jo

*. , Jn Xo On en déduit (5.12) De (5.30) et (5.34), on obtient (5.11) Ceci achève la clémonstration. I

, CAS UNIDIMENSIONNEL Nons allons à présent étudier le cas n : I. Dans ce cas, il n'est plus question de torsion élastique vu que cela n'a plus de sens. En fait, on va se placer dans le cadre mathématique de la torsion (mêmes équations) pour appliquer les résultats obtenus

, On va donc utiliser les équations données par (1.2). Dans IR, ces équations modélisent un problème en électrostatique

, On considère un certain nombre de conducteurs répartis dans une région donnée clelR,. On s'intéresse au contrôle optimal d'un problème où la solution correspond aru potentiel électrostatique à l'extérieur des conducteurs induit par une densité de cha

C. Soit and . Borné-de, On suppose que les conducteurs sont r'éper,r'tis périodiquement (de période eY) où Y:]0, p.1

. Soit, Ia partie de la cellule de base Y correspondant trux conducteurs et on définit Y* par Y* : Y\?

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