, 0 et finalement 02C : O.Et V.2 La notion de formalité, p.4

, Une algèbre de Lie graduée g est dite différentielle si elle est munie d'une différentielle d (dz :0) de degré 1 qui est une dérivation de degré 1 de g: dfa,bl: lda,ôl + (-1)1

M. Soit and . Variété-différentiable, On associe à M deux algèbres de Lie différentielles graduées: l'algèbre de Lie g, -Tpora(M) des multichamps de vecteurs et I'algèbre d.e Lie g, -DpoIu(M) des opérateurs multidifférentiels sur M. Décrivons-les rapidement. Dans gr, un k-tenseur cv est de degré lol : k -1, ii est de degré &. : k -2 dans le décalé gr[1]. La structure d'algèbre de Lie de g, est donnée par le crochet de Schouten, p.2

. Dans-le-décalé-gzr, On rappelle que si D1 est un opérateur rn1-différentiel et D2 tn opérateur rn2 -différentiel, lDr', Drlc -Dr o Dz -(-f ;la' llD'l P, o P, où D1 o D2(f1,.. ., f*r+*z-t) : rnl I(-r)t-z-t)(r-t)Dr, fj-r,Dr(fi,...,fj+*r-r),fj+*",...,f*,+*,-t)

, J=l

L. Enfin and . Différentielle, que I'on met sur g, est définie par d,A: -[p, A]c: (-t)lal54 VA ?. sr, où p désigne la multiplication usuelle des fonctions et 6 le

F. Algèbres,

V. Soit and . Un-espace-gradué, Suivant [Kon2], on associe à I/ Ia cogèbre colibre cocommutative sans co-unité générée par

L. On-appelle and . *-algèbre-un-couple, V,Q) où V est un espace gradué et Q une codérivation de la cogèbre C(v) (si on note a la comultiplication de C(v), cela signifre: LQ:(8era;zr+Qds8)A )

, Fy (?,ù e rd -rd e p{ (t,ry)) -Ay (0 " .t{ çù+ I Ay (q) ".qY G) -@A)y (t ?) : o ç;;t1,+{ çE, CHAPITRE Vl (ii)py o

, SM qui à tout éIément S de Homç1(ttow,t;) assocje Iap-forme SM sur M à vaJeuts dans les opérateurs stsr IR*, où s{ (tr, ?o) : s(sît@nrc),((r), . .. ,sît(ruc)

, Il est maintenant facile de montrer le

, Théorème Vf.3.4

. Sid-désigneencorelaconnexionnaturelled-d+am-sure-etxleproduit-associatif-sur-/-es-fi, bres de E, alors, pour toute fonction f ,g d.l(E), on a: (1) D(f *e) : @f) * s + f * (Dg, )D'(f):FMxf-f*FM (3) DFM : g

. Preuve,

V. Compte-tenu-de-la-proposition, @P)y -d(PlI) De cette égalité et du corollaire VI.3.2 (i), on déduit (1) A présent, soient / une section de E et t,T deux champs de vecteurs sr, (DrT) -Dr@er) _ Dç,rtf : : Ay (?). Ay (ùU) -eY @ " Ay (1ff) + çaey({

P. Ainsi and V. Le-corollaire,

, Le point (3) résulte directement du point (iii) de ce même corollaire.t On définit la notion de connexion de Fbdosov tangentielle comme suit

V. Déffnition,

D. Ljne-connexion and . Sur, E est une connexion de Fbdosov de courbure de Weyl F dans Q' (M , E) si pour toute forme u, a, d, kt.,'' + (_l1a'ep1u*(Du'), p.0

. .. , si pour tout r de M, et pour tout vecteur ( tangent à lafeuille L de L passant pae r, O,(?) est un opérateur tangàntiel formel sur lfullyr, On déduit du théorème VL3.4 et de la définition VI.3.5 que notre connexion naturelle D sur Q*(M,E) est une connexion de Fedosov tangentielle de courbure de Weyl f'M

, Adoptior d" l" méthod. d. F"do"ot .t t"ng"nti"lité. a) Connexions tangentielles plates de Fedosov

, on peut maintenant modifier D en une connexion de Fedosov plate D. On annonce d'abord un résultat cohomologique connu

, Proposition VI, vol.41

L. Groupes-de-cohomologie-de-ds, Eo) sont Jes suivants: ( c*(u)

. Ho and . Eo, Ao): 1 l, p.0

. Si-p>0,

E. and D. , 2 [CFT] ffid.eFedosovtangentielIedecourbuted'eWeyIF,aJorspourtoute].forme'r sur M à vaJeurs dans, Proposition VI.4 est une connexion de Fedosov tangentielle de courbure de Wevl F,:F-lDl*lx.r

. Preuve,

. La-seule-chose-À-vérifier-ici-est-que-d-'est-tangentielle, Le reste de la preuve est donné dans [CFT]. Ot, pour tout champ de vecteurc {, r({) est une section de, {) *. _ . *7(?, p.7

. Ainsi, est bien un opérateur formel tangentiel sur IR[[y1, ...,A^]l.t Proposition VI.4S [CFT]

E. , Preuve: on cherche une connexion plate de la form"D =g *

D. La-proposition-précédente-et-comme-fmilo, +. Rri, and {. +. , nous devons résoudre l'équation FM + Dl +7*^r :o pour 7 e uel(M,E)

, CTIAPITRE VI On suppose avoir trouvé j&) : uyt I . . . I ,k j* tel que pÙlrl :: FM + D1,G) i 7G) * 7(t) -O rnod,ktt , et on cherche 7;r..1 tel que V,1a\n+g : F + D7&+t7 * l*+t1*7(È+r; -O rnod, uk+z -Fdq I uk+r Dslp*t mod

, 7d0)ç:o (c'est l'identité de Bianchi pour D) Comme ,pdrl : 0 modul o ,ktl, cette dernière expression se réduit modulo uk*z à: DsFt'tft):g mod, p.12

. Enfin, (Eo,Do) : {0}, on peut trouver 7*+r tel que Dai*+r --u-k-T rAr

, D'où la proposition pax récurrence.El b) Le résultat: obtention dtun produit-star tangentiel

M. and D. , Considérons la projection r : HÙ(E,D) --C*(M) qui associe à chaque s".tioo D-horizontale / sur .E la fonction C*: r *-t Il s'agit maintenant de construire une section de z-de la forme: p : id* rpr*, Ho(Eo,Do) = C*(M) -* no

. On-peut-montrer, Pour cela, on doit introduire I'espace By, des opérateurs différentiels d'ordre ( fr, s'annulant sur les constantes

, On obtient alors un nouveau complexe (unBn,D6) et, comme pour la cohomologie résultante est acyciique en degré supérieur à zéro (voir

, He, p.0

>. Vp,

, L'annulation du premier espace permet de résoudre par récurrence l'équation Dop-poDs-e

, On a donc un feuilletage naturel sur f)1, noté L' les feuilles étant les composantes connexes des u-1(r), où ae parcourt IRl Montrons à présent que le feuilletage 4r;o.,o, induit par Lr sur fl rt fl1 coincide avec la restriction 41onor de,C à (-) n çh. Pour tout { de Q t,l f)r, on sait déjà que la feuille de,C passant par ? est I'orbite coadjointe (connexe) Oq de {, de dimension n :2d,. De plus, la feuille rr(?) de Ll contenant ( est, par construction, une sous-variété connexe de f* aussi de dimension n :2d, et contenant Op, Avec nos hypothèses, u est une submersion puisque, pour tout point { de e1 Considérons maintenant une carte (th,V) de ft ft Q1 en ( adaptée à lr et notons e6 la llaUue de L\ LL passant par (. Il est clair que pour toute feuitle L de L, Qa n Z esi ouvert dans Q6. (En effet, pour tout point p de Qel.t, on peut trouver un d.omaine U de carte adaptée pour.C contenant p, et considérer la plaque P, de.4;u passant par p.Alors, Qe a P, est un ouvert de 8g contenu dans Q6 n r.) Par conséquent, Q6 est une réunion disjointe d'ouverts, chaque ouvert étant I'intersection de 0e avec une feuille L de L. Par connexité de ee, on déduit que Qe: QenOe, ce qui équivaut à Qe c oe

L. Feuilletages and L. , C coincident donc bien sur I'intersection O t'l O1, et on peut définir un feuilletage L' sur f,)' : f,) U,f)1 en posant

T. Ce-feuilletage and . De, lt1ç,) une variété de Poisson feuilletée Du théorème VI.4.b, on déduit qu'il existe sur f,)' un produit-star différentiel, tangentiel à toutes les feuilles de L' et donc à toutes les orbites coadjointes de dimension maximale, Et Remarques Vf, vol.5, issue.2

. Eu, hèse que les hypothèses du théorème précédent sont rcmplies pour les aJgèbres de Lie nilpotente". pl,r" généraJement, il existe un ouvert f,)1 et des invariants rationnels zi avec les conditions aà h proposition VI.S.I pour I'aJgèbre de Lie de tout groupe algébri

, Donnons maintenant des exemples concrets d'algèbres de Lie nilpotentes pour lesquelles notre résultat s'applique

, Revenons d'abord sur gb,4 dont les crochets sont, rappeions-re: [Xs

, Comme on I'avait déjà constaté au chapitre III de cette thèse, gs,4 possède un invariast quadratique L:+*XsXt-XzX+

, Cet idéal n'étant pas de pas 2, ii n,existe pas d'après [CGR2] de produit-star sur gi,+ à la fois différentiel et tangentiel aux orbites de dimension maximale (d'aiileurs même pas aux orbites génériques) E" fait, pour cet exemple, on peut voir directement que le feuilletage symplectique .4 ne peut être étendu à aucun point {t extérieur à fl. Pour cela, on peut montrer par exemple qu'ii n'existe pas de carte adaptée au voisinage d'un point (' d" gs,n tel que ?i : (L: 6â : 0. IJne autre façon de procéder, probablement plus astucieuse, est d.e considéràr les-espaces tangents aux orbites de fl. En effet, supposons que I'on puisse étendre le feuilletage réguliei f, à un ouvert f,)' strictement plus grand que fl, p.1

I. Si-i-désigne, immersion injective de I'orbite Og, de {' dans gl,+. Or, l,espace tangent de I'orbite flg d''n point f générique (i.e. tel que ?r I 0) est de lâ forme

, TeOe : {a}s + bA4I c05: ?ec -Ëzb + {1c : 0}, d'où une contradiction

. En-revanche,-si-lxr, on considère le produit-semi direct gr : R X gs,+ de gs,+ par IR, Xa) et de crochets non nuls: [Xu

I. Alors, ouvert générique Vs coincide avec I'ouvert 0 des orbites d.e dimension maximale: ve:o:{?:IË$î,tr#a} et pour tout, on peut écrire avec les notations usuelles

?. Oe{r, ttpz) ; pt,ertpztez? n}. zÇt D'après la proposition VI.5.1, le feuilletage symplectique 4 de O s'étend naturellement en un feuilletage L' sur tout gf, Explicitement

, On munit ainsi I'ensemble du dual gf d'une structure de variété de Poisson feuilletee De notre théorème VI.4.5, on déduit que gi admet un produit-star différentiel et tangentiel à toutes les orbites de dimension maximale, Notez que dans cet exemple le produit-star de Gutt coincide avec celui de Kontsevich-Duflo [Ar2], et est déjà tangentiet

. Prenons-maintenant-i-'exemple-de-l-'algèbre-de-lie-gu, Les crochets définissant la structure d'algèbre de Lie d" go,rz sont les suivants: [Xu, Xu] : X4, lXo, X+l : Xs, [Xo, Xs] : X2, lXr, Xrl --X1, lX+,Xs] : Xr. rbb L'identité de Jacobi graduée de g permet de montrer que ôT : a. On note Hf,(g) la cohomologie associée à cet opérateur de cohomologie. Il résulte encore de l

. Si, P est une structure de g, une déformation de P est une série formelle p, dans 91, p.2

, telle que I'on ait formeliement l'ésalité lP

, Une déformation P, de P est dite triviale s'il existe un élément Q, dans g01p11 t"f que l,on ait formellement P, : lP,Q"l. A I'ordre 1, on obtient pl : lp,erl: àrer'iporr.-qrr,rro" déformation P, soit triviale, il faut donc que le cocycle Pr soit un cobord. Finalernent, Ie premier espace, Hb@), classifie les déformations d.e P, tandis que le second, En degré 1, cela signifie que Hî(g)', differcntiel, tangentiel et nu| sur Jes constantes ainsi qu'un 2-tenseur A (resp. un J-tenseur B) contravariant, tangentiel, totalement antisymétnque tel que I'on aii C(u,u) : 6C'(u,u) + A(du

, De même, on peut définir une version tangentielie de la cohomologie de poisson de

R. Si and . Est-un-Ë-tenseur-contravariant-antisymétrique, désignant le crochet de Schouten) est encore tangentiel. Un k-cocycle tangentiel est dit tangentiellement exact pour d s'ii est le cobord à,'n (k -1)-tenseur tangentiel, On appelle cohomologie de Poisson tangentielle de (M,L) ia cohornologie Hi,ron(M) obtenue en quotientant l'espace des cocycles de Poisson tangentiel. p., .Ài des cobords tangentieliement exacts

. On-rappelle-qu, un produit-star tangentiel sur (M,L) est une application bilinéaire *: .n/ x l, p.22

, définit une loi associative sur Nl sont des opérateurs différentiels, tangentiels, nuls sur les constantes et vérifiant ia condition de parité Cn(u,u): (-1)'Cn(u,u)

*. Deux-produits-star-tangentiels and *. , sur (M,L) sont dits tangentiellement équivalents s'il existe une série formeile T : Id,+ I T1,uk oit les ft sont des opérateurs différentiels, tangentiels, nuls sur les constantes "t ,utirt irant formellement l,égalité

, Les propositions suivantes montrent I'intérêt de la cohomologie de Poisson tangentielle HI'on(M) pour l'étude des produits-star tangentiels sur

, Proposition A.2

À. Sj-(-m, esf une variété de Poisson régulière telle eue Hl,too(M) soit réduit à zéro

. Preuve, Supposons que la soûIme 2n 2n r.t*u :DC*@,r)rk -uu + lu,ulu *l7r,(u,u)rk k=0 définisse un produit-star tangentiel sur M r!s:2njl,r )1,s) 1

. K=2-À-i-'ordre-2n, Alors C

, Ezn+t

L. -tenseur and . Contravariant, En écrivant I'identité de Jacobi pour les crochets déformésnrm pJr antisymétrisation de * et *, on constate que oA:0. Supposons que A s'écrive A : o B pour un champ de vecteurs tangentiel B et introduisons I'application B

*. Considérons-ie-produit-star-tangentier, ): I C,i@,r)rk

, Ce produit-star est par construction tel que, pp.0-1

, CL@,u) -6Bt(u,r): CL@,a): C1,(u,u), car B'vérifie 68' :0. puis, C'l*r@,u): CL+r(u, Par, p.6

, Cprrl(u,u)

, Simultanément à la proposition précédente, nous avons montré Ie Corollaire A.2

. Si, A) est une variété de Poisson régulière te|Ie que HK,ron(M) soit réduit à zéro, alors tous Jes produits-sta,r tangentjeJs sur M sont tangentiell;à";;; éq'uivdents

. Enfin, réciproquement à la proposition A.2.3, nous avons Ia Proposition A.2

*. Sj and *. -8e, sont deux produjts-sfar tangentiels tangentiellement équivalents ef fejs que C, -C', pour tout r I lc, aJors la partl" arûisymétrique d.e ieur différence à L'ordte È + r esf un cobord pour Ia cihomologie de Poiss on tangentielle Preuve: On rappelle (cf. chapitre II, proposition II.2.6) q,r" toute variété de poisson régulière admet un bon recouvrement (t/") i.e. telqn" torrie, les intersections finies et non vides des ouverts Uo soient de cohomologie de Poisson tangentielle triviale en degré )0. En utilisant ce fait, on peut montrer exactement comme a"ttrlnCCl que l'on peut cànstruire entre deux APPENDICE2 produits-star tangentiels * et *', que I'on sait égaux jusqu'à I'ordre k et tangentiellement équivalents

, rrtr" nos deux produits-star * : D Cru, et x' : C'ru'. De l'égalité Cr: C', Vr 1k, on déduit que fi. est un cocycle pour la cohomologie de Hochschild tangentiel. C,est donc une dérivation de I'algèbre C*(M) (pour la mrrlltiptication usuelle des fonctions) Il correspond de ce fait à un champ de vecteurs tangentiel X sur M. D'autre part, la relation d'équivaience entre * et *t à l,ord.re k + t se traduit par, où les fr sont des opérateurs différentiels, tangentiels et nuls sur les constantes. Consid

*. La-partie-antisymétrique-de-c-'u, 1 s'identifie donc à ox

, En conséquence des propositions A.2.3 et A.2.5, notons que les classes d,équivalence des produits-star tangentiels sur (M,L) sont paramétrées par des 2-tenseurs contravariants, qui sont totalement antisymétriques, tangentiels

A. Déffnitions,

, Soif * un produit-star tangentiel sur une uariété de Poisson régulière (M, L).Nofons encore N : C*(M)

, Une dérivation D de x est dite dérivation tangentielle (formelle) si elle s,écrit sous /a forme D: I D

, sont des opérateurs différentiels et tangentiels de N dans N. o Une dérivation tangentielle D de x est dite intérieure s'il existe f da^ns I[ tel que D : [f

. Enfin and G. Dw, une dérivation D d.e* est dite u-Euler tangentielle si elle est de la forme â D:u**LrlD' Ou où

, Proposition A.2

, Soit * : t C,u' un prcduit-star tangentiel sur (M,L)

D. Si and . Dru, est une dérivation tangentielle formelle de *, aJors chaque D, correspond à un ch-amp de vecteurs X, tangentiel, vérifr.ant oX" : 0, et est donné sur un domaine U d'un bon

, où fy est une fonction sur (J vérifrant X"lu:Hryp:{fl ,.}p

. Preuve,

, Soit p le premier indice s tel que D " + 0. La propriété de dérivation se traduit à I'ordre p par, ) Do@u) : Dp(u)u * uDo@)

. Et, Do({u,r}) + Do'r1(ua) -{Do@),u} -{r, Do@)} -Dp+t(u)u -uDp+t(r) : O

, on voit que l'opérateut Do est une dérivation de I'algèbre associative w : C*(M), Par, issue.1

, Xp sur M qui est tangentiel puisque Do est supposé tangentiel En antisymétrisant (2), on s'aperçoît que Xp vérifie oXo :0. Sur un domaine U teI qte HLlr,ron(U) : {0i, on peut écrire Xo@)v: {f{

C. Puisque-les, s'annulent sur les constantes, I'application D' : N * N[[z]l u,-lf{ ,ul* a un sens global et définit une dérivation tangentielle de *. En Épétant I'argument pour D -up Dt et ainsi de suite, on obtient le résultat annoncé

. Autrement, un produit-star tangentiel sur (M, A) sont en bijection avec les suites de champs de vecteurs tangentiels qui sont des cocycles pour o. De plus, le quotient de I'espace des dérivations tangentielles par celui des dérivations ta,ngentielles qui sont intérieures peut être identifié à l'espace des suites d'éléments de HÀ, REFERENCES Références

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