, 0 et finalement 02C : O.Et V.2 La notion de formalité, p.4
, Une algèbre de Lie graduée g est dite différentielle si elle est munie d'une différentielle d (dz :0) de degré 1 qui est une dérivation de degré 1 de g: dfa,bl: lda,ôl + (-1)1
On associe à M deux algèbres de Lie différentielles graduées: l'algèbre de Lie g, -Tpora(M) des multichamps de vecteurs et I'algèbre d.e Lie g, -DpoIu(M) des opérateurs multidifférentiels sur M. Décrivons-les rapidement. Dans gr, un k-tenseur cv est de degré lol : k -1, ii est de degré &. : k -2 dans le décalé gr[1]. La structure d'algèbre de Lie de g, est donnée par le crochet de Schouten, p.2 ,
On rappelle que si D1 est un opérateur rn1-différentiel et D2 tn opérateur rn2 -différentiel, lDr', Drlc -Dr o Dz -(-f ;la' llD'l P, o P, où D1 o D2(f1,.. ., f*r+*z-t) : rnl I(-r)t-z-t)(r-t)Dr, fj-r,Dr(fi,...,fj+*r-r),fj+*",...,f*,+*,-t) ,
, J=l
que I'on met sur g, est définie par d,A: -[p, A]c: (-t)lal54 VA ?. sr, où p désigne la multiplication usuelle des fonctions et 6 le ,
,
Suivant [Kon2], on associe à I/ Ia cogèbre colibre cocommutative sans co-unité générée par ,
V,Q) où V est un espace gradué et Q une codérivation de la cogèbre C(v) (si on note a la comultiplication de C(v), cela signifre: LQ:(8era;zr+Qds8)A ) ,
, Fy (?,ù e rd -rd e p{ (t,ry)) -Ay (0 " .t{ çù+ I Ay (q) ".qY G) -@A)y (t ?) : o ç;;t1,+{ çE, CHAPITRE Vl (ii)py o
, SM qui à tout éIément S de Homç1(ttow,t;) assocje Iap-forme SM sur M à vaJeuts dans les opérateurs stsr IR*, où s{ (tr, ?o) : s(sît@nrc),((r), . .. ,sît(ruc)
, Il est maintenant facile de montrer le
, Théorème Vf.3.4
bres de E, alors, pour toute fonction f ,g d.l(E), on a: (1) D(f *e) : @f) * s + f * (Dg, )D'(f):FMxf-f*FM (3) DFM : g ,
,
@P)y -d(PlI) De cette égalité et du corollaire VI.3.2 (i), on déduit (1) A présent, soient / une section de E et t,T deux champs de vecteurs sr, (DrT) -Dr@er) _ Dç,rtf : : Ay (?). Ay (ùU) -eY @ " Ay (1ff) + çaey({ ,
,
, Le point (3) résulte directement du point (iii) de ce même corollaire.t On définit la notion de connexion de Fbdosov tangentielle comme suit
,
E est une connexion de Fbdosov de courbure de Weyl F dans Q' (M , E) si pour toute forme u, a, d, kt.,'' + (_l1a'ep1u*(Du'), p.0 ,
si pour tout r de M, et pour tout vecteur ( tangent à lafeuille L de L passant pae r, O,(?) est un opérateur tangàntiel formel sur lfullyr, On déduit du théorème VL3.4 et de la définition VI.3.5 que notre connexion naturelle D sur Q*(M,E) est une connexion de Fedosov tangentielle de courbure de Weyl f'M ,
, Adoptior d" l" méthod. d. F"do"ot .t t"ng"nti"lité. a) Connexions tangentielles plates de Fedosov
, on peut maintenant modifier D en une connexion de Fedosov plate D. On annonce d'abord un résultat cohomologique connu
, Proposition VI, vol.41
, Eo) sont Jes suivants: ( c*(u)
Ao): 1 l, p.0 ,
,
2 [CFT] ffid.eFedosovtangentielIedecourbuted'eWeyIF,aJorspourtoute].forme'r sur M à vaJeurs dans, Proposition VI.4 est une connexion de Fedosov tangentielle de courbure de Wevl F,:F-lDl*lx.r ,
,
Le reste de la preuve est donné dans [CFT]. Ot, pour tout champ de vecteurc {, r({) est une section de, {) *. _ . *7(?, p.7 ,
, est bien un opérateur formel tangentiel sur IR[[y1, ...,A^]l.t Proposition VI.4S [CFT]
Preuve: on cherche une connexion plate de la form"D =g * ,
, nous devons résoudre l'équation FM + Dl +7*^r :o pour 7 e uel(M,E)
, CTIAPITRE VI On suppose avoir trouvé j&) : uyt I . . . I ,k j* tel que pÙlrl :: FM + D1,G) i 7G) * 7(t) -O rnod,ktt , et on cherche 7;r..1 tel que V,1a\n+g : F + D7&+t7 * l*+t1*7(È+r; -O rnod, uk+z -Fdq I uk+r Dslp*t mod
, 7d0)ç:o (c'est l'identité de Bianchi pour D) Comme ,pdrl : 0 modul o ,ktl, cette dernière expression se réduit modulo uk*z à: DsFt'tft):g mod, p.12
(Eo,Do) : {0}, on peut trouver 7*+r tel que Dai*+r --u-k-T rAr ,
, D'où la proposition pax récurrence.El b) Le résultat: obtention dtun produit-star tangentiel
Considérons la projection r : HÙ(E,D) --C*(M) qui associe à chaque s".tioo D-horizontale / sur .E la fonction C*: r *-t Il s'agit maintenant de construire une section de z-de la forme: p : id* rpr*, Ho(Eo,Do) = C*(M) -* no ,
Pour cela, on doit introduire I'espace By, des opérateurs différentiels d'ordre ( fr, s'annulant sur les constantes ,
, On obtient alors un nouveau complexe (unBn,D6) et, comme pour la cohomologie résultante est acyciique en degré supérieur à zéro (voir
, He, p.0
,
, L'annulation du premier espace permet de résoudre par récurrence l'équation Dop-poDs-e
, On a donc un feuilletage naturel sur f)1, noté L' les feuilles étant les composantes connexes des u-1(r), où ae parcourt IRl Montrons à présent que le feuilletage 4r;o.,o, induit par Lr sur fl rt fl1 coincide avec la restriction 41onor de,C à (-) n çh. Pour tout { de Q t,l f)r, on sait déjà que la feuille de,C passant par ? est I'orbite coadjointe (connexe) Oq de {, de dimension n :2d,. De plus, la feuille rr(?) de Ll contenant ( est, par construction, une sous-variété connexe de f* aussi de dimension n :2d, et contenant Op, Avec nos hypothèses, u est une submersion puisque, pour tout point { de e1 Considérons maintenant une carte (th,V) de ft ft Q1 en ( adaptée à lr et notons e6 la llaUue de L\ LL passant par (. Il est clair que pour toute feuitle L de L, Qa n Z esi ouvert dans Q6. (En effet, pour tout point p de Qel.t, on peut trouver un d.omaine U de carte adaptée pour.C contenant p, et considérer la plaque P, de.4;u passant par p.Alors, Qe a P, est un ouvert de 8g contenu dans Q6 n r.) Par conséquent, Q6 est une réunion disjointe d'ouverts, chaque ouvert étant I'intersection de 0e avec une feuille L de L. Par connexité de ee, on déduit que Qe: QenOe, ce qui équivaut à Qe c oe
C coincident donc bien sur I'intersection O t'l O1, et on peut définir un feuilletage L' sur f,)' : f,) U,f)1 en posant ,
lt1ç,) une variété de Poisson feuilletée Du théorème VI.4.b, on déduit qu'il existe sur f,)' un produit-star différentiel, tangentiel à toutes les feuilles de L' et donc à toutes les orbites coadjointes de dimension maximale, Et Remarques Vf, vol.5, issue.2 ,
hèse que les hypothèses du théorème précédent sont rcmplies pour les aJgèbres de Lie nilpotente". pl,r" généraJement, il existe un ouvert f,)1 et des invariants rationnels zi avec les conditions aà h proposition VI.S.I pour I'aJgèbre de Lie de tout groupe algébri ,
, Donnons maintenant des exemples concrets d'algèbres de Lie nilpotentes pour lesquelles notre résultat s'applique
, Revenons d'abord sur gb,4 dont les crochets sont, rappeions-re: [Xs
, Comme on I'avait déjà constaté au chapitre III de cette thèse, gs,4 possède un invariast quadratique L:+*XsXt-XzX+
, Cet idéal n'étant pas de pas 2, ii n,existe pas d'après [CGR2] de produit-star sur gi,+ à la fois différentiel et tangentiel aux orbites de dimension maximale (d'aiileurs même pas aux orbites génériques) E" fait, pour cet exemple, on peut voir directement que le feuilletage symplectique .4 ne peut être étendu à aucun point {t extérieur à fl. Pour cela, on peut montrer par exemple qu'ii n'existe pas de carte adaptée au voisinage d'un point (' d" gs,n tel que ?i : (L: 6â : 0. IJne autre façon de procéder, probablement plus astucieuse, est d.e considéràr les-espaces tangents aux orbites de fl. En effet, supposons que I'on puisse étendre le feuilletage réguliei f, à un ouvert f,)' strictement plus grand que fl, p.1
immersion injective de I'orbite Og, de {' dans gl,+. Or, l,espace tangent de I'orbite flg d''n point f générique (i.e. tel que ?r I 0) est de lâ forme ,
, TeOe : {a}s + bA4I c05: ?ec -Ëzb + {1c : 0}, d'où une contradiction
on considère le produit-semi direct gr : R X gs,+ de gs,+ par IR, Xa) et de crochets non nuls: [Xu ,
ouvert générique Vs coincide avec I'ouvert 0 des orbites d.e dimension maximale: ve:o:{?:IË$î,tr#a} et pour tout, on peut écrire avec les notations usuelles ,
ttpz) ; pt,ertpztez? n}. zÇt D'après la proposition VI.5.1, le feuilletage symplectique 4 de O s'étend naturellement en un feuilletage L' sur tout gf, Explicitement ,
, On munit ainsi I'ensemble du dual gf d'une structure de variété de Poisson feuilletee De notre théorème VI.4.5, on déduit que gi admet un produit-star différentiel et tangentiel à toutes les orbites de dimension maximale, Notez que dans cet exemple le produit-star de Gutt coincide avec celui de Kontsevich-Duflo [Ar2], et est déjà tangentiet
Les crochets définissant la structure d'algèbre de Lie d" go,rz sont les suivants: [Xu, Xu] : X4, lXo, X+l : Xs, [Xo, Xs] : X2, lXr, Xrl --X1, lX+,Xs] : Xr. rbb L'identité de Jacobi graduée de g permet de montrer que ôT : a. On note Hf,(g) la cohomologie associée à cet opérateur de cohomologie. Il résulte encore de l ,
P est une structure de g, une déformation de P est une série formelle p, dans 91, p.2 ,
, telle que I'on ait formeliement l'ésalité lP
, Une déformation P, de P est dite triviale s'il existe un élément Q, dans g01p11 t"f que l,on ait formellement P, : lP,Q"l. A I'ordre 1, on obtient pl : lp,erl: àrer'iporr.-qrr,rro" déformation P, soit triviale, il faut donc que le cocycle Pr soit un cobord. Finalernent, Ie premier espace, Hb@), classifie les déformations d.e P, tandis que le second, En degré 1, cela signifie que Hî(g)', differcntiel, tangentiel et nu| sur Jes constantes ainsi qu'un 2-tenseur A (resp. un J-tenseur B) contravariant, tangentiel, totalement antisymétnque tel que I'on aii C(u,u) : 6C'(u,u) + A(du
, De même, on peut définir une version tangentielie de la cohomologie de poisson de
désignant le crochet de Schouten) est encore tangentiel. Un k-cocycle tangentiel est dit tangentiellement exact pour d s'ii est le cobord à,'n (k -1)-tenseur tangentiel, On appelle cohomologie de Poisson tangentielle de (M,L) ia cohornologie Hi,ron(M) obtenue en quotientant l'espace des cocycles de Poisson tangentiel. p., .Ài des cobords tangentieliement exacts ,
un produit-star tangentiel sur (M,L) est une application bilinéaire *: .n/ x l, p.22 ,
, définit une loi associative sur Nl sont des opérateurs différentiels, tangentiels, nuls sur les constantes et vérifiant ia condition de parité Cn(u,u): (-1)'Cn(u,u)
sur (M,L) sont dits tangentiellement équivalents s'il existe une série formeile T : Id,+ I T1,uk oit les ft sont des opérateurs différentiels, tangentiels, nuls sur les constantes "t ,utirt irant formellement l,égalité ,
, Les propositions suivantes montrent I'intérêt de la cohomologie de Poisson tangentielle HI'on(M) pour l'étude des produits-star tangentiels sur
, Proposition A.2
esf une variété de Poisson régulière telle eue Hl,too(M) soit réduit à zéro ,
Supposons que la soûIme 2n 2n r.t*u :DC*@,r)rk -uu + lu,ulu *l7r,(u,u)rk k=0 définisse un produit-star tangentiel sur M r!s:2njl,r )1,s) 1 ,
, Alors C
, Ezn+t
En écrivant I'identité de Jacobi pour les crochets déformésnrm pJr antisymétrisation de * et *, on constate que oA:0. Supposons que A s'écrive A : o B pour un champ de vecteurs tangentiel B et introduisons I'application B ,
, ): I C,i@,r)rk
, Ce produit-star est par construction tel que, pp.0-1
, CL@,u) -6Bt(u,r): CL@,a): C1,(u,u), car B'vérifie 68' :0. puis, C'l*r@,u): CL+r(u, Par, p.6
, Cprrl(u,u)
, Simultanément à la proposition précédente, nous avons montré Ie Corollaire A.2
A) est une variété de Poisson régulière te|Ie que HK,ron(M) soit réduit à zéro, alors tous Jes produits-sta,r tangentjeJs sur M sont tangentiell;à";;; éq'uivdents ,
réciproquement à la proposition A.2.3, nous avons Ia Proposition A.2 ,
sont deux produjts-sfar tangentiels tangentiellement équivalents ef fejs que C, -C', pour tout r I lc, aJors la partl" arûisymétrique d.e ieur différence à L'ordte È + r esf un cobord pour Ia cihomologie de Poiss on tangentielle Preuve: On rappelle (cf. chapitre II, proposition II.2.6) q,r" toute variété de poisson régulière admet un bon recouvrement (t/") i.e. telqn" torrie, les intersections finies et non vides des ouverts Uo soient de cohomologie de Poisson tangentielle triviale en degré )0. En utilisant ce fait, on peut montrer exactement comme a"ttrlnCCl que l'on peut cànstruire entre deux APPENDICE2 produits-star tangentiels * et *', que I'on sait égaux jusqu'à I'ordre k et tangentiellement équivalents ,
, rrtr" nos deux produits-star * : D Cru, et x' : C'ru'. De l'égalité Cr: C', Vr 1k, on déduit que fi. est un cocycle pour la cohomologie de Hochschild tangentiel. C,est donc une dérivation de I'algèbre C*(M) (pour la mrrlltiptication usuelle des fonctions) Il correspond de ce fait à un champ de vecteurs tangentiel X sur M. D'autre part, la relation d'équivaience entre * et *t à l,ord.re k + t se traduit par, où les fr sont des opérateurs différentiels, tangentiels et nuls sur les constantes. Consid
1 s'identifie donc à ox ,
, En conséquence des propositions A.2.3 et A.2.5, notons que les classes d,équivalence des produits-star tangentiels sur (M,L) sont paramétrées par des 2-tenseurs contravariants, qui sont totalement antisymétriques, tangentiels
,
, Soif * un produit-star tangentiel sur une uariété de Poisson régulière (M, L).Nofons encore N : C*(M)
, Une dérivation D de x est dite dérivation tangentielle (formelle) si elle s,écrit sous /a forme D: I D
, sont des opérateurs différentiels et tangentiels de N dans N. o Une dérivation tangentielle D de x est dite intérieure s'il existe f da^ns I[ tel que D : [f
une dérivation D d.e* est dite u-Euler tangentielle si elle est de la forme â D:u**LrlD' Ou où ,
, Proposition A.2
, Soit * : t C,u' un prcduit-star tangentiel sur (M,L)
est une dérivation tangentielle formelle de *, aJors chaque D, correspond à un ch-amp de vecteurs X, tangentiel, vérifr.ant oX" : 0, et est donné sur un domaine U d'un bon ,
, où fy est une fonction sur (J vérifrant X"lu:Hryp:{fl ,.}p
,
, Soit p le premier indice s tel que D " + 0. La propriété de dérivation se traduit à I'ordre p par, ) Do@u) : Dp(u)u * uDo@)
Do({u,r}) + Do'r1(ua) -{Do@),u} -{r, Do@)} -Dp+t(u)u -uDp+t(r) : O ,
, on voit que l'opérateut Do est une dérivation de I'algèbre associative w : C*(M), Par, issue.1
, Xp sur M qui est tangentiel puisque Do est supposé tangentiel En antisymétrisant (2), on s'aperçoît que Xp vérifie oXo :0. Sur un domaine U teI qte HLlr,ron(U) : {0i, on peut écrire Xo@)v: {f{
s'annulent sur les constantes, I'application D' : N * N[[z]l u,-lf{ ,ul* a un sens global et définit une dérivation tangentielle de *. En Épétant I'argument pour D -up Dt et ainsi de suite, on obtient le résultat annoncé ,
un produit-star tangentiel sur (M, A) sont en bijection avec les suites de champs de vecteurs tangentiels qui sont des cocycles pour o. De plus, le quotient de I'espace des dérivations tangentielles par celui des dérivations ta,ngentielles qui sont intérieures peut être identifié à l'espace des suites d'éléments de HÀ, REFERENCES Références ,
Arnal, *-products and. representations of nilpotent groups, Foundations Cummings Pacific J. Math, vol.114, pp.285-308, 1978. ,
Le produit star de Kontsevich sur Ie dual d'ute algèbre de Lie nilpotente, C.R. Acad. Sci. Paris Ser. I Marh., gZT, issue.Igg8, pp.28-54 ,
Algebraic d.eformation program on minjmal nilpotent orbit, Lett. Math. Phys., gO, pp.24-26, 1994. ,
Cohomology of good graphs and Kontsevich linea"r star products, Lett. Math. phys, vol.4, issue.1ggg ,
, Sroupe dans la quantification pa,r déformation, Ann. Fac. sci. Tloulouse, XII, issue.11gg1
Deformations on coadjoint orbits, Journal of Geometry and Physics, vol.3, issue.3, p.327, 1986. ,
DOI : 10.1016/0393-0440(86)90013-6
Representation of compact Lie groups and quantization by deformation, Bulletin de la classe des sciences, Acaàémie royale de Belgique, pp.4-5, 1988. ,
*-products in the method of orbits for nilpotent groups, J. Geom. Phys, vol.2, pp.89-110, 1985. ,
, Math. Phys., I, issue.i9S5, pp.2-94
Repr??sentations ??? des groupes exponentiels, Journal of Functional Analysis, vol.92, issue.1, pp.1-108, 1990. ,
DOI : 10.1016/0022-1236(90)90070-2
, Star representations of E Lett. Math. phys, issue.2, pp.2-747, 1990.
Moyal prod.uct and rcpresentation of solvable Lie groups, J. Func. Anal, vol.2, issue.1ggb, pp.4-6 ,
Covariance and geometrical invariance in *quantization, Journal of Mathematical Physics, vol.22, issue.2, pp.276-278 ,
DOI : 10.1090/S0002-9947-1975-0410775-3
URL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00439230
Déformations covariantes sur Jes orbites polarisées d'un groupe de Lie, J. Geom. phys, vol.14, pp.0-1, 1994. ,
Choix des signes pour la formalité de M. Kontsevicfr , preprint QA/0003008, Masmoudi, Cohomologie de Hochschild des graphes de Kontsevich ,
Sta,r-products for sl, Lett. Math. phys, vol.86, issue.2, pp.7-26, 1996. ,
res, On tangential properties of the Gutt sta,r-prod.uct, J. Geom. and Phys, vol.24, issue.i998, pp.164-172 ,
The Schoufen- Nr.lenlrurs bracket, cohomology and generalized Poisson structures, J. Phys. A.: Math. Gen, pp.29-7993, 1996. ,
Qua.ntum mechanics as a deformation of classical mechanics, Lett. Math. Phys, vol.1, issue.1 ,
, Deforrnation theory and quantization, I and II, Annals of Physics, S (iSZS), pp.61-110
Tangential deformations on the dual of nilpotent special Lie algebras, Pacific J. Math, vol.17, issue.2, pp.2-8 ,
ReaJ algebraic a,nd semi-algebraic sets, Actualités mathématiques, 1990. ,
Equivalence of star products, Classical Quantum Gravit5, vol.14, pp.9-102, 1997. ,
On infrnitely smal| orbits, Studia Mathematica , T. LXXXUII, 1988. ,
,
, , pp.169-192
-Elom ogeneous Fed.osov stat products on cotangent bundles. I, comm. Math. phys., 19g (1ggg),-gog-gog. II, J. Geom. Phys, pp.29-199, 1999. ,
Differential forms in algebraic topology, Graduate Texts in Mathematics, vol.82 ,
An intrcduction to Lie groups and symplectic geometry ,
, Geometry and quantum field theory Lecture notes from the graduate suruner REFERENCES school program, J:llrte 22, IAS, pp.1-1, 1991.
, Loop Spaces, pp.1-3
Regular * representations of lie algebras, Letters in Mathematical Physics, vol.50, issue.5, pp.395-404, 1982. ,
DOI : 10.1007/BF00419321
An algebraic construction of *-prod.uct on the reguJar otbits of semi-simple Lie groups) Gravitation and Geometry, Monographs Textbooks Phys. Sci. Mr, vol.8, pp.7-22202, 1982. ,
,
, II, Trans. Amer. Math. soc. BBz, vol.7, issue.1ggg, pp.45-52, 1990.
Rawnsiey On tangential star prod.ucts for the coadjoint Poisson structure, comm, Math. phys, vol.1, issue.0, p.10, 1996. ,
Graduate Studies in Mathematics" 28, 2000. ,
, mathematics lecture notres
From ?ocal to global deformation quantization of Poisson maaifolds, preprint qVa}l, p.22, 2000. ,
Closed star products and cyclic cohomology, Lett. Math. Phys, vol.24, issue.lgg2, pp.t-LZ ,
Represent ations of niJpotent Lie groups and their applications. Part 1: Basic theory and examples. Cambridge studies in advanced mathematics, 1990. ,
The structure of the space of coadjoint orbits on arl exponential soluable Lie group, Tran. Am, Math. Soc, vol.2, issue.1I992, pp.24-269 ,
Intégration Symplectique des variétés de poisson totalement asphériques In: Symplectic Geometry, Groupoids and Integrable Systems, p.7, 1989. ,
Déformations de I'algèbre des fonctions d'tu e variété symplectique: comparaison entre Fedosov et De Wilde, Lecomte, Selecta Math. (N.S.), vol.1, pp.667-69 ,
Deformations of the aJgebra of functions of a symplectic manjfold: a simple cohomological approach, preprint de I ,
Existence of star-products and formal deformations in Poisson Lie algebra of arbitmry symplectic manifild, Lett. Math. phvs.. Z, pp.487-496, 1983. ,
, Geometdc Models for Noncommutative, vol.0
Existence et classifrcation des st,ar-produits sur Jes va'riétés symplectiques, cours donné dans le cadre de I'Ecole d'été: "Quantification et quantification par déformations, 1996. ,
Eléments d'analyse, Cahiers scientifiques, fascicule XXXII ,
Star-product approach to quantum freld. theory: the free scalar freld, Lett. Math. Phys, pp.20-25, 1990. ,
Kontsevich sta,r product on the dual of a Lie algebra, Lett. Math. Phys, vol.4, pp.48-307, 1999. ,
,
A Ring-Theorist's Description of Fedosov Quantization ,
, Phys, vol.51, pp.61-77, 2000.
, Fedosov, A simple geometrical construction of deformationquantization, J
, , pp.213-238
Deformation quantization and index theory, 1996. ,
on reguJar orbits of compact Lie groups ,
On the deformation quantization of coadjoint orbits of semi-simple groups, preprint math/9g00104 Fronsdal, Some ideas about quantization, Rep. Math. Phys, pp.15-111, 1978. ,
Compactifrcation of confrgsration spaces, Ann. Math, vol.139, pp.783-225, 1994. ,
Tangential sta,r-prod.ucts, Lett. Math. phys., sl, p.1, 2000. ,
An approach to the tangential Poisson cohomology based on exanp/es in duaJs of Lie algebras ,
Some problems of differential geometry and the calculation of cohomologies of Lie algebras of vector fre|ds, Soviet Vtath, Dokl, vol.12, pp.1367-1370, 1971. ,
On the deformations of nngs and algebras, Ann. of Math. Zg, pp.59-103, 1964. ,
JViJpotent Lie algebras, Mathematics and its Applications, 1996. ,
DOI : 10.1007/978-94-011-5072-9_5
,
To appear in Pacific J. REFERENCES [Gul] S. Gutt, Déformations formelles de |'aJgèbre des fonctions différentiables sur une variété symplectique, Thèse Bruxelles ,
An explicit *-product on the cotangent bundle of a Lie group, Leti. Math. Phys, vol.7, pp.249-258, 1938. ,
On some second Hochschild cohomology spaces for algebras of functions on a manifold, Lett. Math. phys, issue.1gg7, pp.9-15 ,
Variations on deformation quantization,2LT-253, Conférence Moshé Flato, Quantization, Deformations, and SS.rnmetries, 1999. ,
Equivalence of star products on a symplectic manifold, J. Geom. Phys, vol.29, p.4, 1999. ,
Diffetential geometry, Lie groups and synmetric spaces, 1978. ,
Differentia,I fortns on rcgular affine algebras, pp.4-4, 1962. ,
Poisson cohomology and quantization, J. fùr Reine und Angew. Math, vol.408, pp.7-119, 1990. ,
Nonlinea,r Poisson brackets: Geometry and. quantization, American Mathematicar society ,
, EJements of the Theory of Representations,Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
Foundations of Differential Geometry, 1968. ,
Deformation theory and sympiectic geometry, pp.3-4 ,
Deforrnation quantization of Poisson manifolds,I preprint eA ,
, Operads and. motives in deformation quantization, Lett. Math. Phys, vol.48, p.727, 1999.
, Quantization and unitary representations, Lect. Notes Math, p.120
Crochet de Schouten-Nijenhuis et cohomologie, Elie Cartan et les mathématiques d'aujourd'hui, Astérisque hors série 257-277. tfq M' Lesimple, Homogeneous propagators for massless half-integer spin fr, 1985. ,
(1gSg), glb_823. REFERENCES [til] A. Lichnerowicz, Les variétés de poisson et leurs Geom, Math. phys, vol.1, issue.127977, pp.4-6 ,
Variétés de Poisson et feuilletages, pp.195-262 ,
Déforrnations d'algèbres associées à une variété symplectique (Ies *,-produits), Ann. Inst. Fourier (Grenobre), vol.82, issue.1gs2, p.1 ,
, Dérivations et déformations de certaines algèbres de Lie infrnies classiques, Publications du département de Mathématiques Lyon, p.76
, , pp.1-43, 1976.
A new para.rnetdzation of coadjoint orbits in the nilpotent case and the swjectivity of the adapted Fourier transfortn, prépublication de i ,
Cohomologie tangente et cup-produit pour la quantification de KontserricÀ, 2001. ,
Tangential formal d.eformations or the poisson bracket and. tangential star products on a reguJa,r poisson manifold, g (1gg2), 1bb_121. fMasz] M' Masmoudi, Star-produifs sur ?es, J. Geom. phys, 1992. ,
Covariant star products, Ann. Fac. Toulouse IV, vol.1, issue.lggb, pp.TT-gb ,
Por'sson cohomology ia dimension 2, preprint math ,
Iïvariant star products and representations of compact semi-sr'mpJe Lie groups, Lett. Math. phys, vol.12, pp.1-6 ,
Quantum mechanics as a statistical theory, proc. Cambridge phil, Soc, vol.45, 1949. ,
On continuous and d,ifferential Hochschild cohomology, Lett. Math. Phys, vol.47, pp.8-9, 1999. ,
Algebraic index theorem for families, Adv. Math, vol.118, pp.151-205, 1995. ,
Sur les défonnations de l,aigèbre des fonctions d'une vafiété symplectique, c.R. Acad. sci. pa.ris Sér. I Math., zg2 G:ggL), Tr_Ts. [NR] A' Nijenhuis and R. Richardson, Defonnation of Lie algebrastructures, J. of Math. and Mechanics, pp.1-10, 1962. ,
WeyI manifolds and deformation quarûization Geometric nilpotent Lie group, Transactions 51 1-563. quantization and the universal enveloping algebra of, 224_255. REFERENCES [Pe1] N.V. Pedersen, 1991. ,
Geometnc quantization and nilpotent Lie groups) A collection of examples, pp.1-1 ,
Rigidity of the WeyI aJgebra, preprint ,
On the equivalence between continuous a.nd differentia.l deformation theofies, Lett. Math. phys, issue.1gg7, pp.9-143 ,
Leçons sur Jes représentations des groupes) Dunod, paris, 1967. ,
Algèbres de Lie graduées et quantifrcation, Progress in Math., so, eirkfrâuser, rgôr ,
Poisson algebras and transverce structures, Thèse, pp.153-194, 1997. ,
, , pp.1-20
Accessible sets, orbits and foliations with singularities, proc, London Math. Soc, vol.29, issue.7974, pp.699-218 ,
Phase-space tepresentations, in Applications of Group Theory in Mathematical Physics, M. Flato, p. salry, G. Zucker-ur ààr, Lect. Appl. Math, vol.2, pp.2-5 ,
Deformation quantization 20 years after AIp press in proceedings of the 1998 Lodz conference, pp.7-745 ,
Orbits of families of vector fields and integrability of distributions, Transactions of the American Mathematical Society, vol.180, issue.1gZB, pp.171-172 ,
DOI : 10.1090/S0002-9947-1973-0321133-2
Another proof of M. Kontsevich fortnality theorem ,
, Remarks on the Lichnerowicz-Poisson cohomology, pp.40-49, 1990.
Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds, progress in Mathematics , vo1 ,
Fedosov Quantization on Symplectic Ringed Spaces, preprint math. sG/0106070. |y.e"] M. Vergne, La structure de Poisson sur |'algèbre symétrique d,une algèbre de Lie niJpotente, Bull. Soc. Math. de France, pp.1-1 ,
, VeY Déformation du crochet de Poissonsur une variété symplectique The local structure of Poisson manifolds, Comment. Math. Ilelv. J. Diff. Geom, vol.50, pp.4-454, 1983.
, Deforrnation quantization, Astérisque, vol.227, pp.389-409, 1995.
Ta,ngential deformation groupoids, Deformation Theory and, pp.301-314 ,
Hochschild cohomology and characteristic classes for star-products, Geometry of Differential Equations, pp.77-94, 1998. ,
DOI : 10.1090/trans2/186/07
URL : http://arxiv.org/pdf/q-alg/9709043
, The theory of groups a,nd quantum mech.anics On the Fourier tra,nsforzn of compacf semi-simple Lie group, J
, Math. Soc, vol.56, pp.64-116, 1994.
Poisson cohomology of regular Poisson manifolds, pp.967-988, 1992. ,
, Produits-star et représentations des groupes de Lie Thèse, 1991.
, Séminaire Bourbaki 1993-94, exposé 789, quantization and polarized symplectic Geometry