A. Vi-est,-un-sous-g-module-de, I. , V. Est-somme-directe-de-vt, and . Vz, Comme (n,V) est indécomposable, il en résulte que Vr ou V2 est réduit à { 0 }. Si y1 est réduit à { 0 } alors Ç l'est aussi, et de même

, Proposition 7

, On suppose G nilpotent

X. Soit and G. Un-caractère-de, Alors tout sous-module de dimension frnie de xP(c) : {xP ; G -----+a I P eP

G. Est-un and . Indécomposable,

, Tout sous-module indécomposable de dimension frnie de C* (G) es;t contenu dans yP(G)

. Preuve,

, Il existe une fonction degré deg de 2(g) dans NU{-oo} vérifiant pour tous p dans P(g) etXdansg: deg(dr(x)p) < d"e(p)

, Alors pour tout p dans P(g) , (ar1x; -d!J) idr) (x@o loe)) : y(atr($ ) k o los

, donc I'opérateur dr(X) -dX(X) idy est localement nilpotent. Ainsi, tout sous-module I/ de dimension finie de XP(G)

V. Soit and . Sous, Par la PRopoSrTIoN 1, I/ est contenu dans yP(G) et par Ie CoROLLAIRE 3, Rv contient un unique point X. Soit D;XiAi un élément de V, noté t.;, où les 13 sont des caractères distincts de G et les qr. deiéléments de P(G) Pour chaque i , oL peut trouver un élément ui dans ll(g) tel que dn(ui)u soit égal à Xj, Ainsi, pour tout j, le caractère yi appartient à XP(G) et nécessairement, Xj et 1 sont égaux

E. Prenons-pour-g-le-groupe-de-heisenberg, F/1 défini en 4.2.6 et gardons les notations introduites dans ce point. Soit V le module cyclique engendré par l'élément (z,ry),notê w, dans C-(Hr) e C*(Ht) On a : d4w: (-T,-r) i dzw: (i

. En-notant-*-r,

V. Ainsi-(-l,

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