, -L"u I a, On multiplie))2u.)çu" dzdt Joxls
, r1 - t^ ev"u' .n'L!, JOxlS, vol.15
, Jr_ xls
, Les termes sur fs disparaissent à cause des conditions au bord dans
, Comme ( est positive et est égale à 1 sur f,)., par définition (voir (3.3.31)), on obtient: t I v
x;s,r1' =-Uu ,
-t Ài-' Gir.12 + tiu"u"') dodt- Jf+ x1 ,
,
,
, Plus précisement, on les majore en fonction de l'énergie 8 Pour le premier terme, on a en utilisant l,inégalité de Young: 1 [ u.'çu" az1 Jo Jaz' JaZ"' ' qu'on peut écrire aussi d'après ta définition (3.3.31) de (: I lnu"'Çu" d'z I or e2 < e, donc o., c ou et comme a" ) e, ) 0 sur o. (d'après (3.2.2)) on obtient: I fnu
, On écrit alors: (3.8.37) [r"dt<cE.(sl+"I a"(u.)2d,zdt J s Jox1s
,
, qui nous donne la décroissance exponentielle de l'énergie et par suite achever la démonstration du théorème 3.2
,
, + ?f,2' : 0 sur fa On multiplie (3.3.38) pae z. et on intègre sur e: (3.3.39) [ (1o
, 3.3g), on a: fff -| v"r'.r7"2" ao: | "-tÀi -'?ie), d" + [ e-r^"_-r11
[ (lo"r. l2 +(a")2(21\ a, Jo Ja En utilisant l'inégalité de Poincaré, il vient: [ çr"1' a ,
,
Par suite on trouve: (3.3.40) [_{ ,
3.38) par rapport au temps t et on procède de la même fâçon que précédemment On obtient: (3.3.41) [ çr"'7' a" où.|'on a noté A I'opérateur differenti,el ellipti,que du second, ord,re à coffici,ents uariables défini par ,
, et g et f sont deur fonctions qu'on détermi
, Démonstration: On rappelle la définition de l'énergie associée au système
): 1f n.ft) :; | ^ l@'')'* ly ,
, L1
, , p.12
après le lemme 3.3.4 que: u-tÀ;t?i :ffirn .n :1ç4*'' avec: (4 9) m:th(zt)'(" -z? ' zz' ÔQù) sur CI-. rn:rb?t) t(, ôQe)) sur f) ,
, -tÀ;t?ï -ffi nl.u+ (4.10) u-1À-1?1 -' ;?,* rn.u- 2lln lll " avec: (4.11) in :thQù'("' -z?' "ù sur t'e'r-u in : tb?r), II vient en utilisant les notations dans zz) sur cr
on montre que: e-rllLti-'1'fu rrù.u+ (4.12) e-LÀ-t2t--, =1, rn. u-. ll m lloo S t a,bilis at ion unifome ,
, L04
, En plus comme l'énergie est décroissante, on a: E.(t) s E"(0) vr > 0
, eh d'après les hypothèses prises sur ufi et zf dans on obtient: (2"') borné dans .L-(IRa
, 13) (2") borné dansZ*@*;tz) f"-' Ylborné dans -Lae (IR+ ; I, (çr))
, Il existe alors z* tel que pour une sous suite de (2") on a: se ^ z* danstr*@a;V) faible.étoile, (4.r4) #-fra^*.L-@a
, Il reste à voir que z* est solution du problème bidimonsionnel
6) par une fonction test u ? V indépendante de 23 et on intègre sur f)x]0 ,
, -l I u.o, arl' * [ ueu, d,zdtr LJn Jo LJo --lo
(r)u",+(a.(z))2u")u dzd, Sharp sufficient conditions for the observation, control and stabilization of waves from the boundary ,
, Control Optim, vol.30, pp.1024-106, 1992.
Analyse fonctionnelle -Théorie et appli ,
A justification of the two-dimensional linear plate model, Journ. Mecan, vol.1, issue.1g7g, p.44 ,
Two dimensional approximation of three dimensional eigenvalue problems in plate theory, comp. Method,s in Appt ,
stabilizarion of second order evolution equations by unbounded nonlinear feedba ck, proc. of the Fi,fth IFAC Syrnposium on Controt of Distributed, pp.101-110 ,
DOI : 10.1016/b978-0-08-037036-1.50013-6
URL : http://www.numdam.org/article/AIHPC_1994__11_5_485_0.pdf
Decay of solutions of wave equations in a star-shaped domain with nonlinear boundary feedback, Asgmptot. Anaï Z, issue.1gg3, pp.Ibg-ITT ,
Asymptoti,c behauior of soluti,ons of euolution equations in Academic press, 1978. ,
Elliptic Bound,ary Value Problems in Comer Domains -Smoothness and Asymptoti,cs of Solutions, Lecture Notes in Mathematics, vol.1341, 1988. ,
Contrôlabilité exacte des solutions de l,équation des ondes en présence de singularités, J. Maths. pures Appl, vol.6, pp.215-240 ,
Comportement à I'infini pour une équation des ondes non linéaire dissipative, c. R. Acad. sci,. paris sér. A, issue.tgrg, pp.2-07 ,
Oscillations forcées pour certains systèmes dissipatifs non Iinéaires, 2E010 (lg7g) ,
Stabilization of trajectories for some weakly damped hyperbolic equations, J. Differential Equations, pp.5-9 ,
Optimal control on perforated domains, J. Math. Anal. Appl, vol.22, issue.2, pp.63-69 ,
Eract controllabi,Iity and, stabilization; the multi,plier method, 1994. ,
Contrôlabilité de l'équation des ondes dans un domaine mince à frontière ondulée, pp.42-442, 2000. ,
Decay of solutions of wave equations in a bounded region with lroundary dissipation, Arch. Rat. Mech. Anal, vol.48, issue.rg7r, pp.804-835 ,
Uniform boundary stabilization of semilinear \Mave equation with nonlinear boundary damping, Lectures Notes i,n Pure and, Applied Maths, vol.142, issue.IggB ,
té exacte, perturbati,ons et stabi,li,sati,on d,e systèmes d,istribués, p.1 ,
ContrôIabiltté eracte, perturbations et stabil,isati,on d,e systèmes dtstribués ,
Sur le contrôle optimal d,e sgstèmes gouuer-nés par d,es équations aur déri,uées parti ,
, Problèmes aux limites non homogènes et appl
locally distributed control and damping for the conservative sysrems, SIAM J. Control Opti,m. SS, issue.5, 1997. ,
Stabilisation d,e systèrnes distribués semi,linéaires: d,omaines presque étoi'lés et inégalités i,ntégrales généralisées, Thèse, 1998. ,
Asymptotic stability of the bounded or almost periodic solution of the \Mave equation with a nonlinear dissipative term, J. Math. Anal. AppI, pp.58-91, 1977. ,
Decay of solutions of the wave equation with a local nonlinear dissipation, Math. Ann, vol.30, issue.3, pp.409-417, 1996. ,
contributions à l'étud,e d"es mod,èIes d,éuolution li,néai,res du deunième ordre par des méthod,es multipas, Thèse 4u 3ème cycle ,
Analgse Mathématique d,e quelques modèles d,e plaques et d,e poutres élastiques et élasto-plastiques, Thèse d'Etat, 1988. ,
Conrollability and stabilizability theory,for linear partial differential equations. Recent progress and open questions, SIAM Reu, vol.20, issue.1g7g, pp.639-739 ,
Boundary sentinels in cylindrical domains, Revista Matem??tica Complutense, vol.14, issue.1, 2001. ,
DOI : 10.5209/rev_REMA.2001.v14.n1.17065
Vibrations of thin elasric structuies and exact controlability, RAIRO Mod,et Math. Anal. Numer., JI, issue.61e97, pp.765-803 ,
Exact conrrolabiliry of vibrations of thin bodies, pp.4-453, 1994. ,
Homogenization of an optimal control problem, ]IAM J. Control. opti,m. 35, issue.5, pp.1557-7573, 1997. ,
Weak asymptotic decay via a relaxed invariance principle for a wave equation with nonlinear, nonmonotone damping, Proc. of Royal Soc. Edimburgh, pp.113-97, 1989. ,
\Meak asymptotic decay for a wave equation with gradient dependent damping, pp.1-20 ,
Weak asymptotic stability of second order evolution equations by nonlinear and nonmonotone feedbacks ,
, 14G, pp.1-4, 1998.
Contrôlabilité exacte pour des domaines minces, Asymptotic Analysis, pp.46-471, 1992. ,
Exponential decay for the semi-linear rù/ave equation with locally distributed damping, Comm. P.D, vol.8, pp.15-205, 1990. ,
Uniform stabilization of the wave equation by nonlinear boundary feedback, SIAM J. Control and Optim, vol.28, pp.466-470, 1990. ,