, -L"u I a, On multiplie))2u.)çu" dzdt Joxls

, r1 - t^ ev"u' .n'L!, JOxlS, vol.15

, Jr_ xls

, Les termes sur fs disparaissent à cause des conditions au bord dans

, Comme ( est positive et est égale à 1 sur f,)., par définition (voir (3.3.31)), on obtient: t I v

J. , x;s,r1' =-Uu

_. _. , -t Ài-' Gir.12 + tiu"u"') dodt- Jf+ x1

-. ,

*. ,

, Plus précisement, on les majore en fonction de l'énergie 8 Pour le premier terme, on a en utilisant l,inégalité de Young: 1 [ u.'çu" az1 Jo Jaz' JaZ"' ' qu'on peut écrire aussi d'après ta définition (3.3.31) de (: I lnu"'Çu" d'z I or e2 < e, donc o., c ou et comme a" ) e, ) 0 sur o. (d'après (3.2.2)) on obtient: I fnu

, On écrit alors: (3.8.37) [r"dt<cE.(sl+"I a"(u.)2d,zdt J s Jox1s

. Ii-reste-À-estimer-le-terme-en,

, qui nous donne la décroissance exponentielle de l'énergie et par suite achever la démonstration du théorème 3.2

. Pour-cela-on-applique-la-méthode-de-conrad-rao,

, + ?f,2' : 0 sur fa On multiplie (3.3.38) pae z. et on intègre sur e: (3.3.39) [ (1o

, 3.3g), on a: fff -| v"r'.r7"2" ao: | "-tÀi -'?ie), d" + [ e-r^"_-r11

J. Jr, *. Jr_, and . Donc, [ (lo"r. l2 +(a")2(21\ a, Jo Ja En utilisant l'inégalité de Poincaré, il vient: [ çr"1' a

D. 'autre-part,-i-'inégalité-de-cauchy-schwarz-donne,

J. Ja, Par suite on trouve: (3.3.40) [_{

. On-dérive-cette-fois-ci and . Dans, 3.38) par rapport au temps t et on procède de la même fâçon que précédemment On obtient: (3.3.41) [ çr"'7' a" où.|'on a noté A I'opérateur differenti,el ellipti,que du second, ord,re à coffici,ents uariables défini par

, et g et f sont deur fonctions qu'on détermi

, Démonstration: On rappelle la définition de l'énergie associée au système

+. |. 1rla, ): 1f n.ft) :; | ^ l@'')'* ly

, L1

*. Jr_, , p.12

. On, après le lemme 3.3.4 que: u-tÀ;t?i :ffirn .n :1ç4*'' avec: (4 9) m:th(zt)'(" -z? ' zz' ÔQù) sur CI-. rn:rb?t) t(, ôQe)) sur f)

, -tÀ;t?ï -ffi nl.u+ (4.10) u-1À-1?1 -' ;?,* rn.u- 2lln lll " avec: (4.11) in :thQù'("' -z?' "ù sur t'e'r-u in : tb?r), II vient en utilisant les notations dans zz) sur cr

. De-la-même-façon, on montre que: e-rllLti-'1'fu rrù.u+ (4.12) e-LÀ-t2t--, =1, rn. u-. ll m lloo S t a,bilis at ion unifome

, L04

, En plus comme l'énergie est décroissante, on a: E.(t) s E"(0) vr > 0

, eh d'après les hypothèses prises sur ufi et zf dans on obtient: (2"') borné dans .L-(IRa

, 13) (2") borné dansZ*@*;tz) f"-' Ylborné dans -Lae (IR+ ; I, (çr))

, Il existe alors z* tel que pour une sous suite de (2") on a: se ^ z* danstr*@a;V) faible.étoile, (4.r4) #-fra^*.L-@a

, Il reste à voir que z* est solution du problème bidimonsionnel

. On-multiplie-dans, 6) par une fonction test u ? V indépendante de 23 et on intègre sur f)x]0

, -l I u.o, arl' * [ ueu, d,zdtr LJn Jo LJo --lo

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