, La fonction cqmposée f o g Proposition Pour toute partition Q dans lP*

, La partition f o g (Q) = ftg(Q) I vérifie l-a relation : l,I(f os(a)): !r(Q)

, Démonstration Draprès (4-5) et la définition de la partition ftg(Q)J, on a: !r(Q) = I^IR(Q, s(a)) > w*(fte(Q)-r ' s(Q))

, Draprès la définition de la représentdtion g

L. ,

, Q)) >I^lR(f o s(Q), Elf o s (Q)l) =W(f o s(Q), pp.4-18

, Des relations (4-l 7) et (4-l 8) on déduit

, I^r(Q) >w(f ss

. De-p1-us, Q) = I,I(f o g(Q)), on a l'égalité dans l.a relation, pp.4-17

, Uqdéltsatiqn_lqcqle_en_fq1çtion du matériau-de_Ie_piÈge Pour cette application' les paramètres expLicatifs sont

*. and R. ,

, La modélisation concerne les variables suivantes (cf, Tableau, vol.2

Z. , =. Loe, V. , Z. Log, and A. , 23 = Log S, 24 = Log F, Un rnodèle esÈ écrit sous la forne suivante, pp.4-323

. Une-procédure-conversationnelle, 3) conduit à choisir K=3, r=2, B=lOO. on obtient la partition * = (PT, pT, ri) et la représentation n où V(a,N) -X ni(xr-a) (*i-.) I est la matrice

. Remarque,

, L9-}l.(3.rI)-9J u'Qu

, Recherche du maximum de I'inertie d'un nuage expliquée par un sous espace de dimension donnée

!. '1-''-i-!-lre9gs, U. Soit, and . Dans-frr,

_. U. S=r, appliqué avec s=rr12, il existe des sous espaces de RP, ur-l ,... ru' de dimensions respectives r-l r... ' l, Èels que : ") Ur'Ur_l t ... = U2 t Ul b) I(N,us) = i:i I

U. Est-une-droite-vectorielle,

D. Soit and . "-le-supplémentatire-q-orèhogonal-des=2,

. Avec-ces-noeations,-u-"-=-d-"-e.,

D. La-droite-vectorielle, DeF

, vériÉient : I(N'D.*, ) = I'lax , I(N'D) s=l r, Brgp99!!!9! Les droites vectorieLles D2r...rD

F. , .en"t' désigne 1'ensemble des droites vectorielles de RP

Q. -orthogonales-À-chacune-des-droites and D. , 1D", et donc à leur Eoume directe U Démonstration: On suppose, pour un entier s, I < s < r-l I(NrDo+r) < Max 'I(N,D) I < s < r-l DeF

S. Do-dans and F. Dto, eo")r rel que r(N,D"al) . r(NrDo)

S. Uo=u,

, ) + I(NrDo) On en déduit

. Soit-ce-qui-est-absurde, U?F

, Si le sous espace U, de dimension r vérifie I(NrUr) = Max I(N,U) UeF t

R. Le-sous-espace and U. ,

U. , 0 E, sont égaux (et donc U. ne dépend pas de l-a fanille (ulr... rtr)) sauf dans le cas suivant : À_ est la valeur multipil-e (s<r), de multiplicite ttr, pp.r-s+I

U. Dans-ce-cas and . Ne-dépand-pas-de-ul,

. Pl, ,Pg), et on note B(Pl r... rptr) ou B(p), pK ) des centres de gravité des classes pl ,.. . rpK

, Proposition : Pour toute partition P

, DémonstraËion : On applique la relaÈion (l) du $

. Inerties-intra-classe, inter classe et totale Proposition: Pour toute partition P du nuage N, La sonme des inerties intra c,lasse et inter

,. .. Démonstrationp, P. , and K. , re nuage des centres de gravité des classes Pl r... rpK, drune partition p. ri

, Q (eu-eo) rnfer' g,=l : o-Bo est le centre de gravité des nuages G et N (3.t) t27l SEBESIYEN G.S. -"Decision naking process in pattern recognition" The !tucnillan Coryany 1962, t28l SIMON J.C. -"Some current topics in clustering in relation with pattern recogniÈion

, Proc. of the fourth international joint conference on pat,tern recognition Kyoto, 1978.

U. J. Lzil, Differents aspecÈs de 1'analyse discriminante

I. and I. S. , Revue de Statistiques Appliquées, 1973.

, John l,liley & sons, 1969.