, 69- d'où TfrO(Al) est transverse à El car u, lo

, Cela entraîne que TO7+(A1) est transverse à El au pointô

, Il en résulte que ô est isolée dans Sol[Or,rr1,s(nf;. ô"rt non isolée dans SolËt, p.7

. Relarque, Le théorème 3 reste vrai si l'on suppose (lô) r QtOl

, Les résultats précêdents nous conduisent à énoncer les définitions suivantes

, Point S-ordinaire, point S-bifurcation Dêfi ni ti on soit F : À + F!,o, IV.3.2

S. Dit-que-b-est-un-point and . Dans-sol3, nf) si il existe un voisinug .V dendans  tel que pour tout r eU, 'i] existe une unique solution b e sol!,o{^t

, ,o{nt) qu'i n'est pas S-ordinaire est dit point S-bifurcation dans torS,o(nf)

. Remarque, Les théorèmes 2 et 3 définissent des condit'ions d'existence de points (A1,El)-ordinaires, 0n voit donc qu'un point exceptionnel peut être (A1 , E1 ) -ordi nai re

, Nous examinons maintenant le cas où S e {Pij

1. and <. 4},

, Proposition 18

?. Soit-ncp and . Sol3, *( t) et N! = (amn) la matrice associée à nrp par la proposition 16

, Pii,m)) où Pî= Pk

, lo) alors no est un point Pii-ordinaire (resp. (Pii,m)-ordinaire) dans Sot!,o( nf) Dêmonstrati on SoitS=Pii,etS=Pks Posons *o=, *fi=o pour mli et mlj

, H2(xf,xJ

, Àrp e so1Bi3,o{^r) si et seulement si H(x!,xl,l) = o 0rrona

, Le théorème des fonctions implicites nous assure que si : (atiar,j -akjast lo) alors H(x!,xJ,r) = o admet une unique solution t*T,*3)(r) pour I

H. Npi, Lnpj (a ) ,n ) aH -( ,no,* nntu \ ;p-\4-4-/ aH -1a'vr rntu\ 4

, Nous avons vu par les thêorèmes 2 et 3 qu'un point exceptionnel, élément d'une famille de solutions p-pêriodiques avec symétrie S peut être un point S-ordinaire, pp.5-6

, La proposition suivante montre dans quel cas il est possible d'obtenir une affirmation analogue pour S êlément de {Prr, PIZ,P34)i pour 1a période np(n?[\*)

, Proposition 19

S. =. Soit, W. {tr, and . Prz,

, Àt) e Ft,o, so'it À.p un point exceptionnel dans SolP (Àt) tet que la matrice associée par 1a propos'ition 16 soit de la )r0' forme

U. Si, S. =t-=o, and W. , alors À.p est un po'int Prr-ordinaire dans 5o1(2n+1)n1Àt; dès que det V det tt Io, p.12

. Tr<p-est-un-po,

, Td-ordinaire dans Sotiil,^t), si det v det w lo; est un point (Pn,E)-ordinaire dans sol, p.11161

V. Si and S. =o, rt un point (Pr,Tù-ordinaire dans solf! l--r(Àf) si det u det T lo' v L2

!. Si, =. Et, and S. =p-!, alors À9 est un point (Pt, 'FtZ)-ordina'ire dans solf! r

, (t,to,xo,À) la solution unique de (f^) dépendant analytiquement de (t,to,xo,À) issue au temps 'initial to du point

, Les composantes de <p sont notées

X. 0n-note, Nous avons montré : 9r(f,0,"!,o,o,o,À) = o .' <p est p-pér'iodique symétrique par rapport à o. tr(Ë*oË,o,*l,o,o,o,r) = o <e rp est (2k+1)p-périodique symétrique par rapport à, ) = o ê rp est p-périodique symétrique par rapport à E1

. Notati-ons-soit-rr, ,'î':^: tels que A chaque point (xr,À) de x, correspond p(t,o,xl,o,o,o,À) solution de (f^) Oui est p-périodique

. Soit-x1, ,ï':^: tels que A chaque point (xr,À) de r1(k) correspond une solution de (f^) qui est

. Soit-r, ^ l'ensemble des (x.x'x4) tels que tr(Ë-Ë*Ë,o,xz,x3,xo) = o A chaque point de tZ correspond une solutjon p-périodique d'orbite symétrique par rapport à El, Diffez,ential equations : geometric theory

. S. T4l-tj, Bz'anehing of periodie solutions of seeond oz.dey,s equations. t5] S. MAZZANTI, FaniLLe de solutions për,iorliques sgmétriques dtun système diffénentiel à aoefficients péz

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