L. C. ,

, Preuve : Remarquons drabord que de tels champs X , Y existent' par exemple : pour trl = Il

, Montrons maintenant la proposition

I. Il-est-clair-quevxe, ,I I(x)elR : X (x) =l(x) Y(x) Soit u e [-r, r] ; alors lechampZudéfini parZu (x) = X (x)* uY (x)

, Soit xoe IR2 l montrons qu.)(X, Y) nrest pas L.C.T en xo

Y. Si, (xo) est défini. Considérons la sous-variété S" de dimension r définie par

=. Sy, , p.t?

. Alorsvyes-",-s-'re, (xo) est colinéaire à y (yr ( xo), donc le champ Zu est tangent à la sous-variété Sy ; Par suite drapres ,n réslultat de géométrie différentielle, toutes les trajectoires issues de S" du "tl"rnp Zu sont contenues dans Sr. On conclut que Vt t o, intclfk, *o) = A t donc

. Si, Y (xo) = o ?t X (xo) = o alors ,rt,k, *o) ={xo}

. Si, Y (xo) = o ?t X (xo) I o, on considérera la sous-variété Sy définie par Sx=tXr(xo):t?

, et en procédant de la même façon, on a le même résultat, III, vol.7, issue.2

, Remarque

F. C. Ce-résultat-est-vrai-pour-toute, VÂ(X , Y) où X et Y sont des champs C-. III

, Théorème Supposons que A tIP.z

, Soit xo? IR2 : X(xo) * o r) Si xo ? f -I alors-l(X , Y) est L

À. Si-xoe-fn, en xo est que : X (x) est indépendant avec V, (V, i est tel que x ? Ai). l) Si xoefc, alors -b(X , Y) est L.C.T en xo si et seulement si X (x) est indépendant avec W

, Preuve : r) évident draprès

, z) Soit xoe f ô A

. Si, X (xo)est indépendant avec V, alorsl e >o tel queVt e ]o

X. , C.T en xo. l) Si xo ?fc, alors 3 i e { r, ...k} tel que x ?, f,. Supposons que X (x) est indépendant avec W, alors 1 e >o tel gueVr e]o , ei : X. (x) ? f-À; par conséquent>

, Réciproquement Supposons que X (xo) est dépendant avec W,. Puisque X (x) et Y (x)

, tl ,1. champ ZyX + u Y est tangent à la sous-variéré fi, il stensuit que toutes les trajectoires issues de f 1

. Sont-contenues-dans-i- and . Vt,

Y. Par-suiteâ-(-x and L. C. Nrest,

^. Si,

, Preuve Supposons queVx ? IRz : Y (x) est colinéaire à

?. Soit-x, alors les courbes intégrales de Y et de I Y, X ] en tout point X, (x) se trouvent du mêne côté, D'après (R H)2Â(X, Y) n'est pas L.C.T en xo

, On va maintenant étudier les propriétés de stabilité et de généricité

, III.L, vol.4

L. F. Proqosition-soit, d (x) = 0'r, d (y) =J. Supposons quril existe xo? ftel que,È(X, Y) est L.C.T er Xor alors I'ensernble

L. C. ,

P. Par and I. , Supposons quril existe un ouvert O de IR2 sur leque$(X , Y) nrest III

, Exernple r : lT|=Il=2 ; (xr

Y. Xr, *r)=kl-xl ,ol H = {(xr, xr)eRz z xr{xl -xl) = o i soit xo = (r,o) , X (xo) pointe à gauche de ox, ; Y (y)

, Comrne det

L. C. Au and . Xo,

, Y (xr, *r) = (xl -z *?*r

H. Xr, xr)61R2 : *r*z(x, -xr)2 = o} rc = { (xr, xrlelR2 : x, = o } soit xo, l^ trajectoire de X issue de xo = (z , z) est une droite

, pour yeV (xo), -Y (y) pointe à gauche de À (y) d'où ltallure de lrorbjte de Y au point y comrne ltindique la figure

, Exemple 3

, (uxlx, +d x3r,a' xf * c'*r*?r), Y(x,*r\= (xr

, (b -c') xl *f * d x!. donc si (b -c')' + 4et d .o, F$, Y) est L.C.T sur tout, p.12

L. C. De-la, F. C. {x-*-u, and Y. , trajectoire X des systèpes homogènes sur Rn ( n 23), dont I'importance est considérable Drautre part le critère de HERMES (RH)2 nrest pas vrai dans R3, par ailleurs HERMES a donné des conditions nécessaires qui ne sont pas suffisantes ainsi que des conjonctures. Il serait donc intéressant dtétudier

, Dans le chapitre Il de ce travail, je nrai rien pu dire pour la F

{. X. Iu, IR si elle est (ou non) L.C.T en un point x ? IRz tel que { U , X (*) i

F. C. Serait-donc-souhaitable-d-'étudier-ce-problèrne-et-le-généraliser-À-la, Y. .. {x, X. Yn_, and Y. , Yn_r sont des charnps hornogènes sur IRn . ur , ... ,n

. [. Krener, . J. Hermes-h, V. Sussman, . H. Jurdjevic, . Hermes-h et al.,

. Bibliographie, March roSz Controllability of non linear systems, J. Differential equations rz (ry72) 95-r16 Local Controllability and sufficient conditions in singular problems, J. Differential equations, vol.20, pp.2-3

, A generalization of chowrs Théorèrne and the Bang Bang Theorem to Nonlinear Control systems On local and global controllability Functional Analysis and Time optirnal ContrôI (rg6g) Normal local controllability of order one Int, J. Control, vol.39, issue.rg8+

J. Diff, Equations (rg8z) Yol 44 p, pp.166-187

, Local controllability of oder p and holder conditions on the rninimum tirne rnap G. STEFANI to appear (rg8S) /* t i7

, Ig]

I. and G. C. , Birgpes Local accessibility, local reachability and représentations of Cornpact Group to epPear I tt ] C