. Ona,

. Qz, oQr(x,x2,x3) = (orr-")r,] * Grr*o)?z * (qll

, Passons aux coordonnées sphériques : *l=tot0cosg x2 = cos o sin

. Qz, oQt(x1,x2,x3) = cos2 e [(qrg-o)rg2e + 2(q* cos q * 923 sing ) tg e * (qtr-o)"or2, p.p *

, Cette expression doit changer de signe lorsque le point (x1,x2,x3) varie sur le grand cercle défini par x2 -o*1 = 0 privé des pôles et ceci pour tout a réel

, En particulier, pour a = q

, xz,x3) = cos2e [2(qrtcorg * g23 sin I )tg, * (lrr-o )"or2 I + (qrr+o)sin2

, oQ1(x1,x2,xr) chan8e de signe si et seulement si g13 cos 9* g23 sinq I 0. or tg9= o= e33 g13 cosr+ 923 sinq = cosg, Q2(x1

Q. Donc, Qr(*y*2,*3) change de signe ti gt3 * gz3 gsr I 0

, Sie lqgl On peut considérer I'expression Qr(x'xr,*r) -o Qr(xt,x.,x3) comme un polynôme du 2ème degré en tg o dont le discriminant (réduit) est

, (9t3 cos I + 923 sin ,e )2 -(crr-o) [(a11-o)"or2, pp.2-29

L. ,

=. and E. , (err+ o9z)2 -(crr-o

L. Qr, Qr(*t,xz,x3) change de signe si er seulement si l'équation QZ(t,xyxr) -o Qt(*t ,x,xr) = 0 (d'inconnue tg o) admer deux racines distinctes, donc si et seulement si  '(o) > O pour tour a

, P(X)=x4*X3 (rrr-Qtt)* xzG:3-9zze33* 2qn 1)+X (zqngzs * Q33 * 911 -2911

B. Qr, xZ,x3) = -^?, -^1 .*tr Un raisonnement identique au précédent permet d'affirmer que le système p = { Q, t b } est transitif su, 52 si et seulemenr si

, 913 * 9Zl 9n + 0 et si le polynôme

, P(x) = x4 * x3 (qzz -q:g) * x2 G|, -9zz ett * 2912 + t) + X (2qrz 9zt+ err -etg -29t29 * qlt -9rr 9gt n'admet aucune racine

C. ,

, Un raisonnement identique à celui fait en A permet draffirmer que le système p = {Q, t b }est transirif su, 52 si et seulement si : gt3 *