, De plus , en introduisant w solution du problènr de Dirictrlet -Âw=f dans f) (5.16)
=[r-westsolution duproblème: -a*.*t,l t(*r* w ) -O) =0 dansQ, pp.1-5 ,
, rnies précédemment , ainsi (5.5) et (5.6) sont vérifrés et au lieu de (5.7) on va monrer que Rr*R-t+ -Âô-+ Ë(A'1f+ w ) -o) < 0 < -Âô, On considère les fonctions ô-et ô+ déf
, 16) et au fait que A est Lipschizienne , on a O, w eW1,-(O)On choisit alors au lieu de (5.10) k et p tels que I'on ait : I vo*txl I > tpu 0+r)- | vt6 -*)* lde plus, corrlme A es croissante
, Ainsi on mong1e par un raisonnement similafue au pÉcédent que ô*>êw ou Al (ô++w)
9) (5.19) on a -Âô*> kp(p+2-n)D $+2)-| v(6:*). l-g+2-n) ,
, Ceci conduit à (5.18) grace à (5.20) et aux propriétés de I
, D'autre part comme A-l est croissante, l'opérateu u-r -Au . $o- l1u+w1 -@) est monotone
6) et (5.18) que : \-t -AuS LDrf dans 0 i=l È0 alors si p>n , on a u? L-(0) et lu | ; cf lr, lo. i=l comrrrc retP(Q), px, on adonc v ,
, Comrrr A est Lipschitzienne on aégalement lO.u. l-= 9* qui aermine la démonstraeion du lemnp puisque u? converge vers u dans Hl (A) faible
1) , la fonction p étant définie précedemment, on suppose que : gl> g2>... > gN et on considèrc le problème pénalisé corrcspondant : -,t,cx,ul)uj- $ai-t-"i1.$r"i -ul*t) ,
, Il est facile de voir qu'en utilisant les techniques de la partie 1 , une telle solution u.= (u.1 , . . . ,u) existe
1) possède une unique solution pourvu qu ,
, oJ.or(s)
, De plus ue converge fortement dans Gtl(O))N vers u lorsque e aends vers 0 et coûrme pÉcédemmenl_il luffit d3_rarsonnely_lç On sera amené à fairc les hypothèses suivantes
U(x,u)=ôo'ar(u) (i=1... ,N) on supppose !(s)e ct(R), 0<vSa.,(s)sM , f:. L-(o) , .d. wt'o(Q) p>n ot j=1, pp.1-5 ,
, Introduisons des fonctions barrières pour le problème (5.24)Plus précisément définissons deux N-uplets, p.58
fJ 'fr, tfitsduio de -âr8,w,)w,=f,&ns0 ,
,N, q est nlUbo ô pmbh : .1(r.1E' ,"q ' t . ff, Zn 5.\ = l veHtlo)teçisurre (r)*,-r(r)Rp.tuso ) ,
A,(r.î,F'l ,"-fi > à < fi, v-l > VveK ,
, S25)estvÉrifiq onslf
, Prooosition
, Saes lbyp<râ6e (525) , on a q{r}sJr(r}sxie) pp. drns O
, Ër pruoilia, -r q{t}rJ8F;,?) É d çrÈ lc hûae (5.2), tegrrdear ô d ct bcne s t
Ar(r.u!Fl . f, = -4?q)q .Cooae d = q sû f ,
, Sçpo,mnsqued;telrE-r(r)(=+) )p, pp.5-30
, 27)oo a: f,> -{(r, Par, issue.5
, Or en dédrir abn d qrË 15.30) e der popriêél ê p, que: tc J,)4
, conne d.= I rurf , o en dédrirpr lepincipe ê nmon'ûie
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