, 1 Rappels sur l'équivalence faible
11^) une représentation unitaire de G. On appelle fonction de type positif associée à Ia représentation zr toute fonction sur G définie par g * ,
, On ilit que r est faiblement contenue dans S (" < S ) si toute fonction de type positif associée à r est limite uniforme sur tout, Définition 5.3.1 Soit S un ensemble de représentations unitaires de G
, Remarquons que si z ? ô et 5 Ç ô, alors en vertu de Ia proposition [Dix1, Proposition 18.1.5], r'est faiblement contenue dans .S si et seulement s'il existe un fonction de type positif non-nulle associée à zr qui soit limite uniforme sur tout
, Si 7 est une autre famille de représentations unitaires de G, on dira que T est fai'blement contenue dans 5 (T < 5) si toute représentation de T est faiblement contenue dans 5, et queT est faiblement équiualente àE
,
Si I'on dénote par fr I'extension de la représentation z' à la C*-algèbre C-(G), alors il est bien connu que n {,S si et seulement si, 1r)(A) ç Kero'1c;(f) ,
, B?S Pour plus de renseignements sur les notions de contenance et d'équivalence faible de représentations , voir par exemple [Dixl
, Equivalence faible de deux composantes de zrrl
Soient clonc I ? g* admettant une polarisation m qui soit un idéal rationnel de g, et soit {Xr ,
, Pour rn+ I < j Sn, posons 0j: oj(t,rù+ P?-ai(t,?
, De plus, pour tout | 1i 1n, lo, Pi ont des coefficients entiers
, Ad-(f)+(Mnf)'c@.L'inclusionréciproqueSeprouvedemanière identique
, Exemple 1: Soit G le groupe de Heisenberg, muni du réseau l: {(pt,p21p3)l PrtPztPs ?
,
, 1 :aXîttaXi,pourtoutt?[0,1)) estunedécompositiondezrrl"encomposantes irréductibles Soit t ? [0,1) On a alors Ad.(r)/r + (M nf)': (o* n)XT *(ta* aT'+Z)X
(f)/r + (M n l)t : (a * T,)xi + IRX; + IRX ,
,p11, -Indt.,rXr! pour tout t,s ? [0,1) ,
, 3 Cas particulier: [g, g] g *
Si sont normaux. Ainsi, l'utilisation de résultats dûs à J.M.G. Fell (voir par exemple [Fel2]) nous permet d'énoncer un critère exprimant à quelles conditions deux représentations unitaires irréductibles apparaissant dans la décomposition hilbertienne de rrl ,
, eur sous-gr:oupes norrno,ux d,1un groupe d'iscret I tel que HL.1 H2 \ | soit abélien, et soient Xr et y2 d,eur caractères d,e Hr et Hz respectiuement Si Ies représentations p1 : Indl1, Xt et Qz: IndLXz sont i'rréductibles, alors, Qr -Qz ç
, A ANNEXES Nous allons ici donner quelques exemples de décomposition en intégrale hilbertienne de restrictions de représentations unitaires irréductibles d'un groupe de Lie nilpotent G à un réseau f
algèbre de Heisenberg de dimension 2n*I, munie des coordonnées (z,y,r) (avec z ? IR et r,y ? R') ,
, a,r)i r,g ? R"}, et soit sp2nle groupe formé des éléments A ? L(W) tels que lA
J: {(0,y,0); y e R'}, alors le sous-Sroupe ^9" de Sp2," fixant point par point les éléments de )) est canoniquement isomorphe au groupe (abélien) des matrices ,
On obtient une algèbre de Lie nilpotente de degré 3, qui a pour coordonnées ,
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