, 1 Rappels sur l'équivalence faible

G. Soit, 11^) une représentation unitaire de G. On appelle fonction de type positif associée à Ia représentation zr toute fonction sur G définie par g *

, On ilit que r est faiblement contenue dans S (" < S ) si toute fonction de type positif associée à r est limite uniforme sur tout, Définition 5.3.1 Soit S un ensemble de représentations unitaires de G

, Remarquons que si z ? ô et 5 Ç ô, alors en vertu de Ia proposition [Dix1, Proposition 18.1.5], r'est faiblement contenue dans .S si et seulement s'il existe un fonction de type positif non-nulle associée à zr qui soit limite uniforme sur tout

, Si 7 est une autre famille de représentations unitaires de G, on dira que T est fai'blement contenue dans 5 (T < 5) si toute représentation de T est faiblement contenue dans 5, et queT est faiblement équiualente àE

C. La-notion-de-contenance-faible-se-traduit-Également-au-niveau-de-la,

. Groupe-g-de-la-façon-suivante, Si I'on dénote par fr I'extension de la représentation z' à la C*-algèbre C-(G), alors il est bien connu que n {,S si et seulement si, 1r)(A) ç Kero'1c;(f)

, B?S Pour plus de renseignements sur les notions de contenance et d'équivalence faible de représentations , voir par exemple [Dixl

, Equivalence faible de deux composantes de zrrl

. .. X^, Soient clonc I ? g* admettant une polarisation m qui soit un idéal rationnel de g, et soit {Xr

, Pour rn+ I < j Sn, posons 0j: oj(t,rù+ P?-ai(t,?

, De plus, pour tout | 1i 1n, lo, Pi ont des coefficients entiers

, Ad-(f)+(Mnf)'c@.L'inclusionréciproqueSeprouvedemanière identique

, Exemple 1: Soit G le groupe de Heisenberg, muni du réseau l: {(pt,p21p3)l PrtPztPs ?

%. Si and ?. R. ,

, 1 :aXîttaXi,pourtoutt?[0,1)) estunedécompositiondezrrl"encomposantes irréductibles Soit t ? [0,1) On a alors Ad.(r)/r + (M nf)': (o* n)XT *(ta* aT'+Z)X

*. Puisque-o, I. 'z-'est-dense-dans, and . Et-ad, (f)/r + (M n l)t : (a * T,)xi + IRX; + IRX

I. Ainsi, ,p11, -Indt.,rXr! pour tout t,s ? [0,1)

, 3 Cas particulier: [g, g] g *

M. Nous-avons-vu-que-dans-le-cas-où, Si sont normaux. Ainsi, l'utilisation de résultats dûs à J.M.G. Fell (voir par exemple [Fel2]) nous permet d'énoncer un critère exprimant à quelles conditions deux représentations unitaires irréductibles apparaissant dans la décomposition hilbertienne de rrl

, eur sous-gr:oupes norrno,ux d,1un groupe d'iscret I tel que HL.1 H2 \ | soit abélien, et soient Xr et y2 d,eur caractères d,e Hr et Hz respectiuement Si Ies représentations p1 : Indl1, Xt et Qz: IndLXz sont i'rréductibles, alors, Qr -Qz ç

, A ANNEXES Nous allons ici donner quelques exemples de décomposition en intégrale hilbertienne de restrictions de représentations unitaires irréductibles d'un groupe de Lie nilpotent G à un réseau f

. Soit-f,-i-'a, algèbre de Heisenberg de dimension 2n*I, munie des coordonnées (z,y,r) (avec z ? IR et r,y ? R')

, a,r)i r,g ? R"}, et soit sp2nle groupe formé des éléments A ? L(W) tels que lA

. Si, J: {(0,y,0); y e R'}, alors le sous-Sroupe ^9" de Sp2," fixant point par point les éléments de )) est canoniquement isomorphe au groupe (abélien) des matrices

^. ?. Formons-le-produit-semi-direct-s7{z, U. S-',-Î, ?. Ir-'et-z, and . Le, On obtient une algèbre de Lie nilpotente de degré 3, qui a pour coordonnées

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