, Comme I f (s)ds: *oo, alors il existe une unique solution O pour JI le problèm" (S) V 6 > 0. De plus on rema^rque que O ----+ *, q,turrd 6 -+ *oo

, Etude du problème dépendant du temps

, On peut utiliser les résultats d'invariances de Bebernes et Ely ([BE]) pour montrer que le problème

, Soit If : Or xIRxIR

, A,p) une fonction hôlder continue d'exposant" dr!rd,d respectivement pour les variables rrtr@

O. Soit, . Opérateur-définie-sur, and . Co, CIr) tel que O : CkçÇt7)

, Co((tr) est bornée V & e [0, r] et ô : C0(CI7) -+ Co(CIr) est continue

. Déffnition4 and . |pourdrespectivementu?co,

, *,t) ? Or. On définie V (r,t) e Or les ensembles suivants: So(x,t)

C. {o, CIr) : u(a,s) < O(y,") 1r(y,t),(y,s) e f)

C. {o,

, w(r,t) j

, Pour le problème nonlocal suivant: (r,t) ? Qr (*,t) ? Br

, { 3l;,î3 i(.,'î," ' o' do) x to, r)), p.115

, où f)7 : f) x (0

. Alors, Déffnition 4.2 Une paire de fonctions u, u ? C2't 1Ot) est sous-sur solution pour le problème (P1) si V (r,f) e Br u(ae,t) S iÛ

, u(ae,t) 1 w(r,t) pour (*,t) ? Or et V (2, t) e Q7 u',w vérifient; q -L,u 3 H(x,t,O,dO) V O e So(r, da) u1 -Atr.,2 H(*,t,O,dO) V@e S-(x

, soient u(ae,t) : 0 sur o7 et .(*) la solution du problème auxiliaire suivant

, Théorème 4.3 Si le problème (S1) admet une solution ?r) avec 6 vérifiant la cond

. Soient-(-r and O. Qr,

, w(y) V(y,s)e f,t7

, +r Ainsi 'lD1 -Uxa : ,rT@)

, Alors u, tr forment une paire de sous-sur solution pour le problèm

, où w est solution du problème auxiliaire (,s1), aJors Ie problèm" (P') admet une solution o sur 0 x [0,*) de plus O(r,t) ( ur(c) sur O x [0,oo)

. Preuve, On se référe à I'existence de solutions stationnaires du problème (S)

, 5 Conditions thermiques mixtes

, On associe à l'équation parabolique nonloc a\e (4.2) des conditions aux bords de type Robin: O,(+1) +"(o1+1) -r) -0

, Ainsi, on considère le problème suivant ot :o'" *r, /(")'t+i z ? fl

, Â rlou

, ,t) -r) -o re ôe,r ?

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