, L0 l

, Clrttpitre l. C'zts cle glottpe cle, Boidol Ir

, On peut rerral'qlrer que si q ? L' (R) n tp(R)' Alols, nr(n){ :r2/N(n)(: r(n)?'Vn ? À

, ker-(trzlr.r) : ker'(G.r). OI ker'(G'r): lit't'(r) tirL, Donc ker

, I'orbite G'r est réduite à r, en effet

G. Soit-r-e, est le stabilisateur de r dans G' Alors r" 7 r. où r"(t) : r(r-rnr)

G. R. Donc-r-'z-r-e and G. Ad, (r)(G' r) : G' r

G. Est, (z) (G' r) -G' r e Ad.(r)Oo -Oq oùr on désigne I'orbite en q. et q la forme linéaire sur n cot'r'espouclante à r par la bijection de Kirillov' Alors Ld, ïr'T:Ad nq Donc G, C (Gn 'N)

. Réciproquement, N)Oq : Oq, nous avons Ad

, C'har;itt'e J. Cas de groupe de Boidol I l)

. Acl, . Gq-)-o, and . Oq-car-si-r-?-g, (.r )q : (l ---> Ad. (r:)( A(1" ( n)\r1 : '\tl" ( r'rr'r'-l ) ^\tl-( '')'l : Ad'1rr')e c tt

A. Ad, Oq: Ad.(N 'G,r)O'. : Ad"(lV) Ad.(Gî)Oq, :oq

D. Gn-'n-.-^-/-'gn and C. ,

. De, (2) nous avons que G

, Gq, ce qui aula comnle <'onséquell('e (ltte G, --G. Donc I'orbite G'r est réduite à r, I1 est clair clue exp

, Ptrisque que clans notre cas on a H --N' alors r:^i' 4.g. Déterminons maintenant les l1(G)-modules sinrples porl' l. représental'ion r, avec 1 I çt I ae

L. Par, 17) nous avons I'existence cl'une fonction f e Lt (G) telie' que zro(/) soit un opérateur de rang fini' Considérons Ie sous-esptrce V{ :vect ( {?l

, Tplf)est de rang fini

A. Vf-est-un, G)-module simple pour la représentation zro pour 1 < p S cc cf ([23]) De Plus Annl'rrul(yf) : ker(zrp)/Lr(N) : ker(zr'2) I r.tNt : ker(G 'r): ker(r)

D. J. Aler:-rnclt-'e. and . Ludwig, Erpre,s,si,on etpl,ititt rl'irlr:rrtr,t rrtirtirrrrtrrr d' algèbres de conuolutzon

J. Andele, Thèse. N,fetz, 1997.

P. Bernat, Sur les repr??sentations unitaires des groupes de Lie r??solubles, Annales scientifiques de l'??cole normale sup??rieure, vol.82, issue.1, pp.37-99, 1965.
DOI : 10.24033/asens.1136

P. N. Bernat, M. Conze, and . Lévy-nahas, lvL Rais. P. Renouard. NI. Vergne, 1972.

J. H. Boidol, J. Leptin, D. Schûrman, and . Vahle, R???ume primitiver Ideale von Gruppenalgebren, Mathematische Annalen, vol.22, issue.1, pp.1-13, 1978.
DOI : 10.1007/BF01420252

F. F. Bonsall and . Duncan, Complete Norvned Algebras, Ergebnisse der Mathematik 80

N. Bourbaki, Eléments de mathémat'iques: Groupes et algèbres rle Lie, 1972.

J. Dixmier, Opérateurs de rang fi,ni, dans les représentations unitatres, Ins. Hautes Etudes Sci. Publ. Math, vol.6, pp.305-317, 1960.

J. Dixmier, L'application erponenttelle dans les groupes de Li'e R éfér'ence^s I tibliogt

, Bull. Soc. Nlath. France, vol.85, pp.113-121, 1957.

. J. Dixnrier, Les C* -algèbres et l,eurs rr:pI'rt.:rrtf otion,s rrrtitrtitr s. (larrthier-\:ilills. ( Pali-*, 1969.

J. Dixmier, Algèbres enueloppanfes, Guthier-villars, 1971.

W. J. Hauenschild and . Ludwig, The injection and th,e pro.jecti,orr, th,r:orerrr ,for spectral,sets. \,'Ionatsh. lVlath, pp.92-167, 1981.

G. Hochschrld, The structure of Li,e Groups. Holclen-Dav Inc, 1965.

L. Hôrmander, The AnalEsis of L'inear Partzal Dtfferent'i,al Operator, 1983.

R. Howe, On a connectr,on between nilpotent grollps an,cl osr:'tlla'r'y 'i,rttegrals assocr,ated to szngulariti,es, Pac, pp.329-363, 1977.

A. Hulanicki, A functional calculus for Rockland operators on nilpotent Lie groups, Studia Mathematica, vol.78, issue.3, pp.253-266, 1984.
DOI : 10.4064/sm-78-3-253-266

A. A. , Kirillov, unitary representati,ons of n'ilpotent L'te groups. uspekhi N'Iat, Nauk. LT, pp.53-104, 1962.

]. H. Leptin, Ideal Theory i,n Group Algebras o.f Locally corn'po"ct Groups,Inventiones math, pp.31-259, 1976.

H. J. Leptin and . Ludwig, Unttary Representatzons Theortl of Erponentia'l' Li,e Groups, De Gruyter Expositions in Nlathematics, vol.18

, R éfét' en c es b iltlio gt' trph ir 1 rc s Berlin. Nerv Yblk, 1994.

J. 2o-], Lucl',vig. Pohlno'm'ia,L 9rou,th, rt,nrl, irleo,l,s irr qrottï) rr,l,t1r'ltrrt.s. urututsclipfit tttittlt, IJ, p.30, 1980.

J. Ludwig, On the spectral synthesis problem for points in the dual of a nilpotent Lie group, Arkiv f??r Matematik, vol.21, issue.1-2, pp.127-744, 1983.
DOI : 10.1007/BF02384304

. 1. Ludwig, On Primary Ideals in the Group ALqebra of a N'tLpoterrt Lie group. \,lath, Ann, vol.262, pp.287-304, 1983.

I. Ludwig, Irreducible representatr,ons of erponen,ti,al sol,uo.ble Lie groups an,d operators wr'th smooth kernels, J. Reine Angew. Nlath, pp.339-340, 1983.

J. Ludwig, Nlinimal C*-Dense Ideals and Algebraically Irredr-rcible Representations of the Schwartz-Algebra of a Nilpotent Lie Group. in Harmont,c AnalEsi,s, Lecture Notes in N"Iath' 1359, pp.209-217, 1987.

J. Ludwig and . N{olitor-braun, Algèbre de schwartz d'un groupe cle Li,e nilpotent. Plbl. centre universitaire de Luxembourg, Travaux mathématiques VII, pp.25-67, 1995.

J. \. Ludwig and . Iolitor-braun, Exponential actions, orbits and their kernels, Bulletin of the Australian Mathematical Society, vol.18, issue.03, pp.497-573, 1998.
DOI : 10.1215/S0012-7094-83-05045-7

URL : https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/78660E04464507988E0BD94C31FBB08A/S0004972700031919a.pdf/div-class-title-exponential-actions-orbits-and-their-kernels-div.pdf

J. C. Ludwig and . Nlolitor-braun, Représentations trréductibles bornées des groupes de Lie erponenti,els (à paraÎtre)

, Etude de I'algèbre L:"(G) a'uec G Lt7 llr R rjfér'eri ce.s b ib lio g: r aphiq ues gr.ouperleLtenilpotentetaestunpo,ld'spol

U. Luxembourg, Travaux mathéutatiqttes X (199E, pp.7-94

D. Poguntke, Algebraicallg zrrecluc'ible represerttatr'ons o'f LL -ul'qt:bnr's oferponenhalL'iegroups)Dukel\Iath, pp.501077-1106, 1983.

L. Pukans-zky, on the (Jnitary Representation's of EryonenttaL gtttttp':' J. Funct. Anal' 2(1968) 73-113' lsllL.Pukanszky.onthetheoryoferponenti'algroups, Trans.Atrrer.. Nlath. Soc', pp.126487-507, 1967.

V. S. Var, Lie groups. Lie algebras and lhet'e represrltf ttf tttrl''' Prentice-Hall Series in modern analysis, 1974.

D. J. , Winter'AbstractLieAlgebras,TheNllTpress.Cambridge.\Ias. sachusetts, 1972.

, Table des matières Introcluction Chapitre 1' Rappels et généralités 5

C. , Quelquesreprésentationsunitairesirrédtrctiblesetsous- algèbres Particr'rlières 26

C. , Représentationsalgébriquementirréductiblesdesgroupes de Lie résolubles exPonentiels 59

, Chapitre 4' Cas du groupe de Boiciol 102

, Chapitre 5 Etude de l,algèbr e L\r(G) avec G groupe cle Lie nilpotent et

, BibliograPhie