, Chapitre 6. Application du PPNL aux systèmesnon homogènes

. Donc, Prr(*)+&r(r) +&o(r) < 0 si llrll > 9, p.546

. Maintenant, la fonction W étant homogène de degré 4; le calcul montre que 1.51 llrlla 3w(*) S 5201

O. Ainsi and . Vérifie-que-toute-trajectoire-de, 27) partant d'un point r0, llroll > 9, rentre dans le domaine G-: {r e lR2 :W(x) <L254* 104} et y reste

. En-résumê, Go est un voisinage de 0 sur lequel V(r) < 0; C.G* : {r e lR2 : W(x) > L.254 *, 10a} est un voisinage de I'oo sur lequel W(r) < 0

, Il reste donc à prouver rrnumériquementrr l'existence d'une trajectoire reliant ces deux parties de IR2, p.101

, 25X6.26) Le but est d'étudier le comportement des solutions sur différents types de plans de phases obtenus lors d'une variation continue du paramètre o dans I, o Nous considérons maintenant le système bouclé La rrperturbationrl b (prépondérente au voisinage de 0 et négligeable au voisinage de I'oo) fait apparaitre un phénomène de bifurcation suivant le paramètre a

, Pour différentes valeurs de a S 0, les plans de phases du système (6.25)(6.26) sont représentés par les figures suivantes: Cas des systèmes bilinéaires non homogènes Ftc, pp.13-105

. Ftc,

, graphe a) les tra.jectoires ont la même allure que celle du système linéaire, ce sont des ellipses. En s'éloignant de I'origine, les solutions viennent s'enrouler en spirales autour d'un cycle limite. Ensuite, en s

, 14 met en évidence I'existence' d'un domaine d'attraction borné délimité par un cycle limite instable (partie hachurée du graphe c). A I'extérieur du domaine d'attraction, toutes les trajectoires viennent s'enrouler autour d'un cycle limite stable C. Les solutions sont bornées, p.2

, Application du PPNL aux systèmes non linéaires (exploration numérique) Ftc.6.15 -Sp:-}.25ti Frc, I06Chapitre 6

, En diminuant encore la partie réelle du spectre, on constate: -pour a : -0.25 (figure 6.i5): élargissement du domaine d'attraction et rétrécissement du cycle limite C. En dehors du domaine d'attraction, les trajectoires sont bornées et s

, 3 (figure 6.16): disparition du cycle limite C, absorbé par le domaine d'attraction qui devient tout IR2 \ y(r) -toutes les trajectoires convergent vers I'ori- gine

. Résumé, Cet exemple met en evidence le phénomène de bifurcation en fonction du paramètre o (partie réelle du spectre): En faisant varier o (de 0 à -0.3), il apparait un cycle limite attractif qui se rétréci continûment pour disparaitre totalement

, Dans le cas du plan, pour contourner le problème du point singulier w: -B-rb en lequel le feedback z(r) explose, on peut éliminer les termes de premier degrè au dénominateur de u(r) On obtient ainsi un feedback dont le denominateur ne s'annule pas et qui est équivalent à u(r) aux voisinages de 0 et de I'oo. On note û(x) le feedback ainsi modifié . Posons tt(r) : 1 (2c(a-a)ael+2cÀ(a-o)4+ (1 +À), Cas des systèmes bilinéaires non homogènes 6.3.3 Modification du feedback u(r)b121 *b2r2)) (6.28) on a alors le système bouclé ù:Aa+ù(ae)(Br+b), pp.2-3

. Le-système, 29) peut aussi s'écrire sous la forme ù: (A* (Bx + ô)r, p.

, F(s) llBx + bll'? llBrll, + llbll

, Mais le spectre de Ia matrice t tr(*) n'est malheureusement pas le même que celui de M'(ae) (il dépend de z), on ne peut donc affirmer que les trajectoires du système bouclé (6.29)

, 16), ù(x) est C* et borné surFÙ2, Remarque 6.3 Contrairement au feed

, (ae) a les propiétés suiuantes: -son linéarisé en 0 est le même que celui ilu feedback obtenu par PPNL (6.16). par conséquent it(x) stabilise Ie système (6.3) au moins localernent -au uoisinage de l'ae

I. Donc,

. Reprenons-maintenant-le-système, 25) de l'exemple 6.4 et observons les portrlits de phases du système bouclé (6.25) (6.23) obtenus en faisant varier o sur, p.1

, II}Chapitre 6. Application du PPNL aux systèmesnon homogènes

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