on construit la représentation-* régulière d'un groupe de Lie compact G. On montrera qu'on peut toujours réaliser G comme un sous-groupe de, 9O(V) où V est un espace vectoriel euclidien de dimension n * 1 ,
soit ? un tore maximal dans G, t son algèbre de Lie, Â le système des racines de la complexifiee g" d" g par rapport à !a et D(g) le diagramme: pG) -{H ? t tel que a, 2h T', pour un certain o ? A} . Notons t" : ! -O(g) et fixons une composante Ps de !" telle que 0 ? Fo ,
On a 8.--ZO s où E: [g,g] et z est le centre de g ,
Le centre Z de G'est alors un sous groupe fini Si CardZ : r, considérons le tore T:IRl Vet un sous groupe cyclique E d'ordre r de ce tore. Si on désigne pax G" le groupe produit de G' par p exemplaires de ?, et par N le sous groupe Er, EoZ de G" chaque .E; est une copie de E, il existe alors (voir pax gxemple le livre de Pontrylgin, section 64 exemple 106), un sous groupe fini central Il de G tel que G/.tri soit de la form. G" lx ,
alors 'gei : ei pour i : 1,..., n, mais puisque g est da, alors g stabilise ) ?1,..., ê, <L et son orientation donc er..r1 d'où g : Id. Et par conséquant : On = G lG(ey ..., en) -G ,
G)z À10,o;(X, T) -a(X) si X ? g et T e g* alors: dÀ1e,o ,
0) comme un champ de vecteurs sur G xg* et la fonction (X,0)-sur I'orbite est définie par: (x,O)G,'l :( (x,0), (o, s'(er ,
Y)-) est la multiplication par une fonction qui ne dépend que des variables de la base G du fibré ,
(G) et g une fonction de L2(G), on pose: (A ff)(g) : l. [ _. ";'(x) 7 (s ero+, a)e@ eaepX ,
ensemble des fonctions de C* (f'çq), t"tt" que la transformée de Fourier partielle de / par rapport à la variable da,ns la fibre ç'f) ,
(G) et on a une estimation: llArllas < C(k)llflh, p.2 ,
I'injectivité découle du fait que : llAill'at : lffnl D'autre part, soit K C n' C C, deux compacts, p,E une fonction C-telle que : p.(x):{â :l TEâr, p.0 ,
r: (f'f*)@"ro+,x) : K(s,sexpx)Â(x)p,.(x) (si x e rc, et donc le noyau: K h(g, g') = tb !"(g, g-' g') ,
-l* A, s expx) -K (g, s etp x) p *(x I l ,
C, alors la suite K1". converge vers K dans L'(G x G). ce qui entraîne que .f^, est une suite de Cauchy dans B. Elle converge donc dans ,
On va montrer que ce produit est celui associé au produit-* défini pa,r S ,
alors: P*Q:o-t("1r1 ,
C ExVn, alors la fonction (0, y)-que nous notons i est une fonction des variables de G seulement. Mais si g' est une fonction des variables de G seulement et g a les mêmes propriétés que ci-dessus alors: I (An,ù(g), pp.61-101 ,
Lichnerowicz dans [25] avait déf:uri un produit-* sur T*(G) de lafaçon suivante ,
x IRn+r , n fois, donc T *(G) se réalise conme une sous variété de E: E: (Ig'+r x, x IRn+r -{0}) x (nù"+r x..... x IR'+l) ,
,pr} deux systèmes fibres delR'*l , p; ) 0 , oi,i , .fi,j et, ui,i U, j :1,..., n) des nombres r&[s, on défrnit des transformations linéaircs sur E par : ql: AEqr qL-n.kz*ntqr) qln: p,(q,-i, 2003. ,
,rPt) i=l ,-1/,aa P'n-r : p"!{p"-r * on-r,rp" + Lun-r,;gi) d=l P'r : Prr(r, + | or ,
On considère donc le frbré principal r : E + T-(G) de groupe stnrcturel Go et Ie produit-* de Moyal usue|,1114 sur E. AJors on pose, pour f et f' des foactions C* sqr ,
risation-* est reduite à 0. C'est pourquoi on ne considèrera pas ici Ie produit-* de Liehnerowicz ,
Dl et 7 un élément de G x Vo. r(7) est alors un opérateur unitaire, ce qui entraîne que ?q(7).4; est dans H S (L'zG)) . ni"ri de I'action de G x v, dans n s (n, çc1), notêe EQ) * ,
La distribution E(eaepX) existe et s'écrit alors: < E(eapX), f )a: TrQr(eapXAt ,
KxJ de I'opérateur r(expX)oAy est K xJ(g, g') : K /geaPx ,
la distribution E(expY) existe et s'écrit alors: < E(expY), A1) Yf e B. ("1v7.t,v)@ : "'r (4ç)k) ,
de I'opérateur r(Y)41 est: KvJ(g, g' ) : "'' K r(g, g') ,
*-product a,nd representations of Nilpotent Groups, Pac J of Math, vol.113, issue.1e84, p.285 ,
* products and representations of nilpotent groups" preprint I, 1986. ,
???- Products in the method of orbits for nilpotent groups, Journal of Geometry and Physics, vol.2, issue.2, pp.85-116, 1985. ,
DOI : 10.1016/0393-0440(85)90010-5
Representation of compact Lie groupr, pp.123-141, 1988. ,
Deformation theory and quantization I, II" Ann, Physics, vol.111, pp.61-110, 1978. ,
Représentations des groupes de Lie Monographie de la société Mathématique de Fla"nce, 1972. ,
QUANTIZATION, Mathematics of the USSR-Izvestiya, vol.8, issue.5 ,
DOI : 10.1070/IM1974v008n05ABEH002140
CAIIEN (editeur): S. GUTT Actes du colloque'Quantum Theory and Geometry Math ,
Qua^ntization of Kâhler manifolds I: Geometric interpretation of Berezin's quantization, J. Geom. and Phys ,
Flormal deformations of the Poisson Lie algebra of a symplectic manifold and star product, existence, equivalence, derivation". NATO ASI Series, pp.897-960, 1988. ,
Les Algèbres enveloppantes ,
Sur les repr??sentations unitaires des groupes de Lie nilpotents. II, Bulletin de la Société mathématique de France, vol.79, pp.325-388, 1957. ,
DOI : 10.24033/bsmf.1492
Construction De Representations Unitaires D'un Groupe De Lie, Ann. Sc. Ec. Norm. Srp., t, vol.10, pp.265-288, 1977. ,
DOI : 10.1007/978-3-642-11117-4_3
Construction de gros ensembles de représentations unitaires irréductibles d'un groupe de Lie quelconque (Cours d'été du, C.I.M.E, 1980. ,
Remarks on qua,ntization, Reports on Mathematical Physics, vol.151, issue.1e78, pp.111-145 ,
Quantum mechanics in phase space, Reports on Mathematical Physics, vol.19, issue.3, 1984. ,
DOI : 10.1016/0034-4877(84)90008-9
Differential Geometry, Lie groups and symmertric Spaces, 1978. ,
DOI : 10.1090/gsm/034
Caract??res des groupes de Lie, Journal of Functional Analysis, vol.47, issue.1, pp.64-77 ,
DOI : 10.1016/0022-1236(82)90100-8
URL : https://doi.org/10.1016/0022-1236(82)90100-8
Extension des représentations des groupes de Lie construites par M. Duflo." r22 [23](3) A. KIRILLOV "Eléments de la théorie des représentations, Editions MIR Moscou, issue.1e74 ,
On certain unitary Representations which arise from a Qua^ntization Theory, tect. Notes in Math, vol.170, p.237, 1970. ,
Construction of twisted product for cotangent bundles of classical groups a^nd Stiefel manifolds, L. M. P, pp.2-13, 1977. ,
Deformations of the algebra of functions on hermitia"n symmetric spaces resulting from quantization, Ann. Inst. Henri Poincaré, vol.XXXVII, issue.3, pp.2-5, 1983. ,
Symbols and orbits for 3-step nilpotent Lie groups, Journal of Functional Analysis, vol.62, issue.1, pp.38-64, 1985. ,
DOI : 10.1016/0022-1236(85)90018-7
Coherent states and Kâ]rler manifold, J. Math. Oford, vol.2, issue.1e77, pp.403-447 ,
Topological spaces, Distributions and Kernels ,
Quantification de certains espaces hermitiens symétriques, Séminaire Goulaouic-Schwartz, vol.80, issue.16, 1979. ,
La structure de Poisson sur I'algèbre symétrique d'une algèbre de Lie nilpotente, Bull. Soc. Math. France, vol.100, pp.301-335, 1972. ,
symplectic Geometry and Fourier Analysis, Math. Sc. Press, 1977. ,
Harmonic Analysis on Semi-Simple Lie groups I, 1972. ,
On the Fourier tra.nsform of a compact semi-simple Lie group, 1987. ,