. Dans-cette-partie, on construit la représentation-* régulière d'un groupe de Lie compact G. On montrera qu'on peut toujours réaliser G comme un sous-groupe de, 9O(V) où V est un espace vectoriel euclidien de dimension n * 1

G. De-lie and . Compact, soit ? un tore maximal dans G, t son algèbre de Lie, Â le système des racines de la complexifiee g" d" g par rapport à !a et D(g) le diagramme: pG) -{H ? t tel que a, 2h T', pour un certain o ? A} . Notons t" : ! -O(g) et fixons une composante Ps de !" telle que 0 ? Fo

G. Soit, . Un-groupe-compact-connexe, and . De-lie, On a 8.--ZO s où E: [g,g] et z est le centre de g

G. Soit and . 'la-composente-de, Le centre Z de G'est alors un sous groupe fini Si CardZ : r, considérons le tore T:IRl Vet un sous groupe cyclique E d'ordre r de ce tore. Si on désigne pax G" le groupe produit de G' par p exemplaires de ?, et par N le sous groupe Er, EoZ de G" chaque .E; est une copie de E, il existe alors (voir pax gxemple le livre de Pontrylgin, section 64 exemple 106), un sous groupe fini central Il de G tel que G/.tri soit de la form. G" lx

. Soite1, alors 'gei : ei pour i : 1,..., n, mais puisque g est da, alors g stabilise ) ?1,..., ê, <L et son orientation donc er..r1 d'où g : Id. Et par conséquant : On = G lG(ey ..., en) -G

D. , L. De-liouville-sur, and T. , G)z À10,o;(X, T) -a(X) si X ? g et T e g* alors: dÀ1e,o

X. Si and . Dans-gr-on-peut-voir, 0) comme un champ de vecteurs sur G xg* et la fonction (X,0)-sur I'orbite est définie par: (x,O)G,'l :( (x,0), (o, s'(er

. Donc-zr, Y)-) est la multiplication par une fonction qui ne dépend que des variables de la base G du fibré

/. Soit, C. *. Une-fonction, . Support, and . Sur, (G) et g une fonction de L2(G), on pose: (A ff)(g) : l. [ _. ";'(x) 7 (s ero+, a)e@ eaepX

B. Notons-pax, ensemble des fonctions de C* (f'çq), t"tt" que la transformée de Fourier partielle de / par rapport à la variable da,ns la fibre ç'f)

/. Si, . Est-un-opérateur-de-hilbert, and . Schmidt-sur, (G) et on a une estimation: llArllas < C(k)llflh, p.2

D. Preuve and . Part, I'injectivité découle du fait que : llAill'at : lffnl D'autre part, soit K C n' C C, deux compacts, p,E une fonction C-telle que : p.(x):{â :l TEâr, p.0

A. Si, H. S. Est-un-oçérateur-dans, K. Au-noyau, and *. On-définit-la-fonction-f, r: (f'f*)@"ro+,x) : K(s,sexpx)Â(x)p,.(x) (si x e rc, et donc le noyau: K h(g, g') = tb !"(g, g-' g')

. Jcxc, -l* A, s expx) -K (g, s etp x) p *(x I l

. Maintenant-si-rcr, C. Est-une-suite-de-compacts-dans, *. Tel-que-r, and . Et-uae, C, alors la suite K1". converge vers K dans L'(G x G). ce qui entraîne que .f^, est une suite de Cauchy dans B. Elle converge donc dans

. Ce-qui-definit-un-produit-associatif-dans and . Dl, On va montrer que ce produit est celui associé au produit-* défini pa,r S

P. Si and Q. , alors: P*Q:o-t("1r1

S. De-même, C ExVn, alors la fonction (0, y)-que nous notons i est une fonction des variables de G seulement. Mais si g' est une fonction des variables de G seulement et g a les mêmes propriétés que ci-dessus alors: I (An,ù(g), pp.61-101

A. Rappelons-gue, Lichnerowicz dans [25] avait déf:uri un produit-* sur T*(G) de lafaçon suivante

G. On-considère and . .. Conrme-une-sous-vadété-dentn+l-x, x IRn+r , n fois, donc T *(G) se réalise conme une sous variété de E: E: (Ig'+r x, x IRn+r -{0}) x (nù"+r x..... x IR'+l)

,. .. Soient-{gt, ,pr} deux systèmes fibres delR'*l , p; ) 0 , oi,i , .fi,j et, ui,i U, j :1,..., n) des nombres r&[s, on défrnit des transformations linéaircs sur E par : ql: AEqr qL-n.kz*ntqr) qln: p,(q,-i, 2003.

. Pi-'(-p-'+ and . Lr, ,rPt) i=l ,-1/,aa P'n-r : p"!{p"-r * on-r,rp" + Lun-r,;gi) d=l P'r : Prr(r, + | or

E. De-plus,-i-'espace-des-orbites-de and . Sous-gs-est-isomorphe-Àt, On considère donc le frbré principal r : E + T-(G) de groupe stnrcturel Go et Ie produit-* de Moyal usue|,1114 sur E. AJors on pose, pour f et f' des foactions C* sqr

. Malheureaement-cette-pola, risation-* est reduite à 0. C'est pourquoi on ne considèrera pas ici Ie produit-* de Liehnerowicz

/. Soit, Dl et 7 un élément de G x Vo. r(7) est alors un opérateur unitaire, ce qui entraîne que ?q(7).4; est dans H S (L'zG)) . ni"ri de I'action de G x v, dans n s (n, çc1), notêe EQ) *

X. Si and . ?c, La distribution E(eaepX) existe et s'écrit alors: < E(eapX), f )a: TrQr(eapXAt

L. Or and . Noyau, KxJ de I'opérateur r(expX)oAy est K xJ(g, g') : K /geaPx

Y. -de-même-si and . Vn, la distribution E(expY) existe et s'écrit alors: < E(expY), A1) Yf e B. ("1v7.t,v)@ : "'r (4ç)k)

. Ce-qui-entraîne-que-le-noyau-ky, de I'opérateur r(Y)41 est: KvJ(g, g' ) : "'' K r(g, g')

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