. Si-g-est-un-point-de-Éio, on note également g I'unique prolongement de g à t identiquement nul sur p.On obtient ainsi une injection linéaire de fi, dans t* compatible avec I'action coadjointe de .I(oo. Soit O((s) I'orbite coadjointe du point (o: (po,po) deg* où ps est dans É|0

Z. Est-un-difféomoryhisme-de and . Xvro, O(ço) dans O({s)

. Si-f-est-un-symbole-tel-que-t, 1 u(p),u > où u est une fonction C* de Z dansp, on a: @r ù@): -+ loo(t@ltp))) ô@) + (ro ù(M(p)

. Si, X appartient à g, notons * la fonction défrnie sur 0((6) pt , f,16

. Posarrt, Ad IuI(p)-rB : Br * Bz où, B1 ?tooet Bz?F, issue.98

. De-mênre-qu, au chapitre 1, le calcul s5'mboliclue s'étend à la clersse des s1'rnboles de "carré intégrable

. La-formule-intégrale, permet de défrnir une isométrie bijective de l'espace de Hilbert A complété de l'espace des symboles / continus à support compact pour la notme | '' r [ 1fk,u)ll; dp(p)du ll/ll'= J ,r*r,o dans I'espace L2(H) des opérateurs de Hilbert-Schmidt sur I

/. Soit, symbole continu à support compact; on pose : (giXp, T: I ui<r

E. La-formule-intégralez, ) s'écrit pour

. Preuve, En effet T(g) o.,{1 admet pour no1

. Et and . Pour-thg-),-i-'opérateur-r, J1 aclmet pour no)'au : I Ii'(p,ù: [ [ r/(to,[) "'to,-'p(AI(p)-'k IIft-t p))/ry(A-' p,q) d,u: d, lc J JV xI( qui est bien àsupport compact, puisque lafonction: (u,k,p,q) h( (.,k) Kr

. Soit-f-un-Élément-de-a-rd, On note égalemenrt'f ta distribr.rtion de I'espace A-rD défrnie par < f

C. Transformée-de-fburjer-adaptée-)-pout-'$-e, (G) soit ?(l:) Ia disiribution sur I'espa.ce A-rD défrnie par, p.fr@

G. Si-g-appafiient-À and T. À. , Ja distribu tion E(g),r/ sur A-1O est Ia djstribution défrnie par ]a fonction de A-LD, s.r

. La-formule-intégrale, ) définissant le calcul synrbolique n'est pas véritablement plus simple dans ce cas particulier. Signalons toutefois que la fonction 6 est donnée par : ô(?): f#+x)

L. Résultats-des-pa, ragraphds 3 êt 4 précédents s'appliquent alors et permettent en particulier de défigir un produit associatif * sur I'espace ,4 des symboles / tels que: tf J J il(T,i@,'));1113 dP(P) du ( *oo la mesure invariante sut Z étant ici : dp(P):ry et donc de définir une représentatiou * de G associée à la représentation zr. Référeuces t1] D. Arnal "The 'F exponentialQuanturn Theories and éeometry'' I(lus, 1988.

D. Arnal, B. Cahen, M. Cahen, and S. Gutt, Une classe d'orbites coadjointes qui sont s1'mplectomorphes à un fibré cotangent, C.R.Acad.Sci.Paris, t 3L2, Série I, pp.27-130, 1991.

D. Arnal, M. Cahen, and S. Gutt, Representation of compact Lie groups Td Quantiàtion n by deformation" Acad. Royale de Belgique Bull. de la classe des Sc. giene série t- LXXIV, pp.45123-141, 1988.

D. Arnal, M. Cahen, and S. Gutt, * exponential and holomorphic discrete series" preprint U, 1988.

D. Arnal and J. Cortet, Nilpotent Fourier transform and applications, Letters in Mathematical Physics, vol.9, issue.1, pp.25-34, 1985.
DOI : 10.1007/978-3-642-66243-0

D. Arnal and J. Cortet, Repr??sentations ??? des groupes exponentiels, Journal of Functional Analysis, vol.92, issue.1, pp.103-135, 1990.
DOI : 10.1016/0022-1236(90)90070-2

URL : https://doi.org/10.1016/0022-1236(90)90070-2

J. [. Arnal and . Cortet, La notion de ,* produit et ses applications aux représentations de groupes, 1979.

F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnevowicz, and D. Sternheimer, Deformation Theory and Quantization, Ann. of Physics, vol.110, pp.61-151, 1978.

]. P. Bernat, Représentations des groupes de Lie résolubles, 1972.

B. Cahen, Représentations x associées à la série principale d'un groupe de Lie semiimpl

. Nd, S. Cahen, J. Gutt, and . Raw-'nsley, Quantization of Iiàitrler manifolds I : geometric intËrpretation of Berezin's quantizatiott, J. of Geometry and Physics, vol.7, pp.145-62, 1990.

M. Duflo, Fundamental-series representations of a semi simple Lie group, Funct. Anal. and Appl, vol.42, pp.38-42, 1970.

M. Flato, Simple facts about analytic vectors and integrability, Annales scientifiques de l'??cole normale sup??rieure, vol.5, issue.3, pp.4-5, 1972.
DOI : 10.24033/asens.1233

S. Guillemiu and . Sternberg, Syrnplectic techniques in physics

E. A. Loj and . Gutkin, Representations of the principal series of a complex semi simple Lie Éonp, Funct. Anal and Appl, vol.4, issue.2, pp.32-37, 1970.

S. Gutt, Sorne aspects of deformation theory and quantization" in M. Cahen and M. i'l.to (eds) "Quantum Theories and Geometry" I(luwer Acad, 1988.

S. Gutt, An explicit *-product on the cotangent bundle of a Lie group, Letters in Mathematical Physics, vol.50, issue.3, pp.2-9, 1983.
DOI : 10.1007/BF00400441

. Harish-chandra, Discrete series for semisimple Lie groups. II: Explicit determination of the characters, Acta Mathematica, vol.116, issue.0, pp.1-111, 1967.
DOI : 10.1007/BF02392813

S. Helgason, Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces" Acad. Press. [2U S. Helgason "Groups and Geometric Analysis, 1984.
DOI : 10.1090/gsm/034

A. A. Kirillov, Eléments de la théorie des représentations, 1974.

A. A. Itirillov, Method of orbits in the theory of unitary representations of Lie groups, Funct. Anal and Appl, vol.2, issue.1, pp.96-98, 1968.

A. A. I{irillov, The characters of unitary representations of Lie groups" Funct, pp.40-55, 1968.

]. A. Knapp, Representation theory of semi simple groups. An overview based on examples, 1986.

C. Moore, Compactifications of Symmetric Spaces, American Journal of Mathematics, vol.86, issue.1, pp.201-218, 1964.
DOI : 10.2307/2373040

C. Moreno and P. Ortega-navarro, *-Products on D 1 (?), S 2 and related spectral analysis, Letters in Mathematical Physics, vol.40, issue.3, pp.181-193, 1983.
DOI : 10.1007/BF00400432

M. A. Naimar, Les représentations linéaires du groupe de Lorentz" Dunod, 1962.

]. A. Perelomov, Generalized Coherent States and Their Applications
DOI : 10.1007/978-3-642-61629-7

L. Pukanszky, Leçons sur les représentations cles groupes" Dunod, 1967.

J. P. Serre, Algèbres de Lie semi sirnples complexes, 1966.

D. J. Simms, Lie groups and quantum mechanics" Lect. Notes. it'Iath 52 Springer, 1968.
DOI : 10.1007/bfb0069914

URL : https://link.springer.com/content/pdf/bfm%3A978-3-540-35829-9%2F1.pdf

3. A. Voros, An algebra of pseudodifferential operators and the asymptotics of quantum mechanics, Journal of Functional Analysis, vol.29, issue.1, pp.104-132, 1978.
DOI : 10.1016/0022-1236(78)90049-6

3. N. \mallach, Harmonic Anal],sis on Homogeneous Spaces" DekkerHarmonic Analysis on semi simple Lie Groups I,II, 1972.

N. J. Wildberger, On the Fourier transform of a compact semi simple Lie group

N. J. Wildberger, Convexity and unitary representations of nilpotent Lie groups, Inventiones Mathematicae, vol.77, issue.2, pp.281-292, 1989.
DOI : 10.1007/BF01388854