Un raisonnement semblable à celui du cas symplectique [17] montre qu'il existe a, dans I'espace I"(U) des séries formelles à coefficients dans I(U) ef une dérivation formelle tangentielle, ôo n':LroD'*, k=0 tels que D:D'la,oD, où o désigne le produit de séries formelles. En effet, U étant non compact, I'algèbre de LieP") est toujours égale à son idéal dérivé. On note Ent P,l'ensemble des éléments T de Ml ,
T'l s'annule sur I'idéal dérivé de(U) et par suite sur N,(U)De plus, puisque z1 est dans Ent Pr, pour tout T de Ent Pr), donc ? est formel. Maintenant, il n'est pas difficile cle prouver que, si A est une application tangentielle de, nf(U) dans l/(U) vérifiant A(P(u,r)) : P(T(u),u): P(u,r(r)) Vu,u ? N(U), alors il existe c dans ,
DTo rk ot , alors on a T('r) : av o't ,
puisque si (o et (i sont deux tels champs, le champs ?l -{, est hamiltonien LeL-C.f': 0, et il existe une fonction -f, définie à une constante prés ,
origine et des coordonnées canoniques (rt) dans [/o et considérons le champ: ?:1S''g :!,9 ' 2 ?__r-ar' -2' 0r' (2n est la dimension de M) ,
2p -I)ç : Lcç + Qp -1)ç + {f ,p} -s-açU) ,
une base de m contenant n éléments, si 2n : dim I4l. Considérons O*: {t e W1Xr, Xn soient linéairement indépendants modulo be }, alors on a les deux lemmes suivants Lernme: V-}-L l27l O* est un ouvert F-invariant de W ,
(u)1ffi : o vi' i e {1, p.27 ,
zéro dans t1 tel que I'application exp soit un difféomorphisme (de )/ dans un ouvert de I/6) Définissons l'application X :expV --(D , par X(exPX) ,
Considérons E: {ç : G6 --+ C lp@.h): x(h-')e(r) Vr ? Go ,
Supposons qu'il existe une polafisation réelle b "n to. Alors il existe un recouvrement de W par des cartes de Darboux (U.,g,) tel que pour tout X dans g, X lu" s'écrit sous la forme * I, Dotk)oj + ao(q) ,
an sont des fonctions C-dépendant seuJement des variables q. De plus ces ouverts apparaissent comme des ouverts d ,
,9')) est une carte deW autour de (6 telle que {p;,qi} : 6;i et {p ,
Ë ar(q)pr+ ao(q). r=1 'otl ,
Gf Geo une orbite de G dans g* de dimension 2n admettant une polarisation réelle b.t {0. Considérons un ouvert U deIU qui est le domaine d'une carte de I'atlas ,
On dira que T possède Ia propriété P4 pour lc danslN si et seuJement siu,) e c*(q)d'+"'+d'-kbl v(rr, ...,u,) e c*(q)o' [p] t x c*(q)d'lpl, où C*(q)d[p] est I ,
A Do'' ttne application r-linéaire différentielle alors T est d'ordre t si et seulement si, pour fous les multi-indic?s a1,o, e c-1q;D::' D;=' "i-'lpl (si a Démonstration Supposons que ? soit d'ordre t et supposons qu'il existe er ,
Do ToDo comme dans la proposition et supposons que ? ne soit pas d'ordre d'ordre f . Il existe alors a tel que ,
Dr>o uk A* une application r-Iinéaire formelle ,
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