I. Théorème, 39: Pour tout ae'o e rr'(Ss) on a O(16) > sr

. Preuue, Soit x's e T,(Ss,i) tel que p(o[, h) :0 q els{ae'ù

{. Alors-3j-e, N(i)} tel que x's ela

L. On-considère, fonction u(xt) : fott oçr',r1or. J s1@,\ 1D;i On pose ,(r') -I pr

<. Si-o, 0 : on a ut(x') <0 Vx' elx'o -e,r'o +el

. Donc-u-', 0 Vae' elr'o,z[ + e[. On aboutit alors à une contradiction comme en I.2. 2.2 s\(xtù < 0 alors s'r(u') < 0 sur un voisinage lcâ -e,î'o * e

. Donc, ne dépend pas de rn-rt (pr, xr) est solution de (P.") pout tout À ? IR. Preuue : Il est clair eue (pr, XÀ) ? Hl, pr20,. 0(X1 (L, pÀ(1 -Xr):6 p.p.dansO et p.r:0sur, p.52

. En-efiectuant-le, tfin-2ttn-r * À,crr), on obtient Ia{x)(ver*x.re).v?dr< [ B(r,e-p^)?

. Remarqueii, Sideplusa(c)estindépendantede rn-1 et, si(P-)aunesolution unique (p,X) alorspl -pet X^:X pour tout À ? IR

. Soit, X) un couple de solution de (P-). Alors, on a au sens des distributions : (rr

. Il-existe-alors-un-couple, ? I/r(O) x I-(O) tel que

. Preuue, On montre comme dans la preuve du lemme I.4.7, enutilisant les mêmes notations, que : Lu : X -g

I. Théorème, 12 : Pour toute solution (p,X,ù de (P*) on a : p ) 0, X = L p, p.2

. Soit, ,xz) :sin(ar1)sh(ar2) avec a: T

J. Jss, -(1) donne : 11 I lv@"-p)+12 +(1 -x).@'-p)I,: I (n"-g)

D. Maintenant and ^. , 1.5) g" prolonge u par rn sur O\.4. Ce prolongement est noté toujours u. sous des hypothèses de regularité sur u, on déduit de (rv.1.18) : 1r l_lrulo-rvu.v(dr : [_ U@,{t -u)

. Ainsi, vérifiant (tv.r.i+). on obtient le problème faible suivant : Tbouver (u,g) eWt,q(e) x ^D-(O) tel que : (t) u|xn,0 <g < 1 p.p. dans A, g(r-aen) =0 p.p. dans e (pn) { (ii) u 1'" sur sz (iii) lnV

. Si-le-problème, 1.3) -(ry.1.6) admet une solution (u, A) et si u désigne le prolongement de u par cn sur O \ A alors (u, xé)) est solution de'(Pe1j et ainsi toùe solution forte du problème initial sera solution de

. On and . Hrr, -rn)(u"r -rn)rn : (Err(ur, -ro)) r^ ^E

. Soit, Il existe une sous suite notée encore (E"r(urr -r"))* qui converge vers / dans O'(0). . lE"o(r.* -*n) -(u -*")lo < . s (ta. (u,* -an) -E,r(u-o")l iln,*(u -*,)-(u -r,)l\o I S zc-rlÛrr(ur* -a,) -Er*(u -rr)lo + zc-rlÛrr

. Comme, rG) --+ s+ p.p. dans IR, d'après le théorème de la convergence iomirrée, on a Er*(u -xo) (z -xn) dans ,c(O) -fort

J. Jss-en-passant-À-la-limite-quand, V{ -e?,n: I p(*,rh, p.1

. Soit, une autre solution, ?= u'-(o * 1)c2 est fonction test, donc : .Fy lrlvu'1c-zo u'.v(u' -(i + 1)'z) -s'(u' -(c * !)xz), - I P<rt

J. I. B<o-, o * 7)x2).(u' -(o * L)rr)

J. En-utilisant-le-lemme and I. , Lon a: i) [lo@'-(o*r)ae2)lqdï<0 si q>2 JA ii) [,.)o(, J1 *').,)\lr=rd* I 0 si t < q <2. ' Jn (lv",l + lv

. Dans-le-cas-d, une digue non bornée de geomètrie quelconque, I'existence d'une solution ne devrait pas poser trop de difficultees

. Annexe-'dans, on démontre deux theorèmes déjà utilisés pour prouver la continuité de la fronLière libre, Ces theorèmes ont été démontrés par H.W. Alt [Al3] dans le cas du Laplacien

. Soit-alors-c, 0 tel que : c(n, O)(dia,m(O))' .Ad < p dans O où diam(O)

A. Théorème, Soient p, u, u des fonctions continues sur O avec fu > 0l c

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