.. .. Dt and . Des-fonctio-'tus-u1, ,u, uérifiant (*), tels que Dans ce chapitre, nous donnons une approche de la démonstration de la conjecture de Howe [18], caractérisant les convoluteurs centraux pour S(G) Rappelons que ce résultat a été prouvé par Jenkins [21]. Ensuite, nous donnons une condition suffisante pour qu'une fonction appartenant à C-(g*)

. Enfin, nous citons un exemple d'un convoluteur pour I'espace de Schwartz du groupe de Heisenberg et qui n'est pas déterminé par une fonction. 2-Convoluteurs centraux pour, p.2

D. Soit and ^. Un-endomorphisme-continu-de, On dit que D est un multiplicateur central pour ^9(G) si D est à la fois un multiplicateur à gauche et à droite

. Soit, G. Une-fonction-de-schwartz-sur, and G. Et-r-un-Élément-de, On désigne par lrf et r"/ les transiatés respectives de / à gauche et à droite par r, pp.2-2

D. Soit and S. Multiplicateur-pour, Les d,eun propriétés suiaantes sont équiualentes: i) D est ttn multiplicateur central pour S(G)

D. Soient and S. Et, une unité approchée de

D. Cornme and . Continu, on a par passage à la limite qre D(Irf): lrDU)

. Est-ce-que, comme dans Ie cas abélien, tout convoluteur d'un groupe de Lie nilpotent est déterminé par ûne {onction?

G. Considérons-le-groupe-de-heisenberg, . De, and . Variables, [/1 muni de la structure définie dans /e paragraphe précédent Soit ç, une fonction définie sur IR, de classe C-, à support compact et nulle sur un voisinage de zéro

. Dans-ce-chapitre, Ensuite, nous rappelons un théorème de calcul fonctionnel sur les groupes de Lie nilpotents variables. Puis, nous définissons les multiplicateurs (centraux ) de Schwartz pour les groupes de Lie nilpotents variables et nous généralisons la conjecture de Howe caractérisant cette classe de multiplicateurs, nous allons introduire quelques notions sur les groupes de Lie variablesvoir [25] , [26], p.1

. Dans-la-suite, nous nous intéressons aux algèbres de Lie nilpotentes variables. Nous supposons aussi que I'espace M soit compact

G. Soit and . I-'espace-localement-compact-g, Pour m appartenant à M, nous définissons sur G une loi de multiplication de groupes notée .rn ?rI utilisa^nt la loi de Campbell-Baker- Hausdorff: r.mU -x*a+f

. De-plus and . Pn-l, ) l, I yt(-) 1,..., | ,n-r(*) l,l yo-r(*) l)lB , où B est majorée par la dimension de g et B(*) dépend des structures d'algèbres. Comme I'application Mxgxg(m) est bornée stn M par une constante B. Posons ï(k) : jËo

X. Soit, Il existe alors un élément X'(*) dans U(k-t)('-) et un élément X"çm) dans U tels que X: X'(m).^X"1*1. D'après l'inégalité (4.2),ona sup (l *r(*) 1, Crft + (ft -1)')

|. En-outre, ,r'o_r(rr),"'1,_r(*) | 3l*'*(*)|+|/i@) |+a1t *sup(l *\(*)l,l*'l@) 1, r@)l)lp 3l r'*(*) | + | x'i@) | +B[1 + cr (r + (k -1)")]p

. Où-p-est-un-polynôme-dont-le-degré-est-indépendant-de-m, Par suite, ) + P(2) +...+ P(k)

. Soit-(-x1, ,X,r) une base de g. Posons Do

S. Nous-munissons and M. , de la famille de semi-normes suivantes: ll .f llry,o: [.9p. [ .'# t lD'*p,f@)f a*1i

/. Alors, ?. , and M. , on obtient I'estimation suivante: ll f * s lhv,osll / llru,o ll g llr

B. Soit and . De-banach-involutive, Nous disons qu'une fonction <p opère sur un élément f e B si la transformée de Gelfand Î a. f associée à la qlus petite sous-algèbre de Banach .A contenant / est réelle et s'il existe g ? Atel que g o f -f. On note g : g{f}

/. Pour, . ?b, and U. Rxô, LY j=7 r' On suppose que ll "@f) lla: O(l t" lN) quand I t l* oo. Alors, toute fonction p de classe C-sur IR, à support compact et telle que g(0) : 0, opère sur / et e{il: * Iur:;i)

M. Soit-(-g,,-m-)-un-groupe-d,-e-lie-nilpotent-uariableg, Soit g une fonction ile classe C* szr IR, à support cornpact et telle que g(0) :0. Pour f

S. Soient-?-un-multiplicateur-central-pour and M. , rn un élément de M fixé et p une fonction continue sur ilf, Pour / appartenant à ^9(G), posons Tr(*)(f):T(pelX-,.)

T. Soit, S. Multiplicateur-pour, and M. , Alors, Pour tout m e M et pour toute fonction g continue sur M telle que g(m) : L, Tç(m)

/. Soit, S. Élément-de, and M. , eI qte f (rn,û) :0 pour tout z appartenant à G. Alors, p.0

E. Effet, s*) * f)(m,x) : (n*Q * sk) *^ e*1)(') : o, or\ *-désigne le produit de convolution dans, p.0

. Clonc, Tr(m) ne dépend pas de g. Montrons maintenant que

. Dans-la-suite, (m) si p est une fonction continue sur M telle que p(m) :1, pp.4-7

S. Soitt-un-rnultiplicateur-pour and M. , Alors, pour tout couple (m,r) de M x G et pour toute fonction f

S. Soitt-un-multiplicateur-pour and M. , Alors, T est un multiplicateur central si et seulement si pour tout m appartenant à M

S. Soit-?-un-multiplicateur-pour and M. , Pour toutes fonctions f .t g dans S(G, M) et pour tout rn ,, T(*)(p*f): T(*)(p*g) e p*(T(T)): p*(T(s))

*. En, T(m)(p*f) : T(*)(p*s) : p*Q@))

. Réciproquement, supposons que ? soit central et soient f .t g dans ^9(G). D'après la définition de ?(nz), on a r@)(f ** s), p.p*(r<ro

*. Mais, @ e g) : P*le8 ("f *'' g)], il s'ensuit donc que r@)U ** s) --ïp*T(ç s /)l ** p,n(e I s) : r

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