^. Puu, Hô (Ct) faible (4.3) P,u, converge 3-échelle u(r) 0ù n eriste deur fonctions ut(n,u) e L, p.uz

Y. Lt-(-a-x, Z) lR) telles que, qui,tte à ertrai,re une sous-sui,te on a: (4.4) V (P,u,) converge 3-échelle Y ,u(r) t V yu1, p.2

. Si, À) e X x M estune solution du Problème Q alors u e V(y) et u est une solution de (8), i.e. u est une solution du Problème P. On définit maintenant: Vo : {g e X'; I g, p.0

L. Lemme and . Les, trois propriétés suiuantes sont équiualentes: (i) tl eriste une constante P > O telle que: (e)

. De, on en déduit que B' est un opérateur bijectif de M dans R

C. Inverse, ) est un sous-espace fermé de X'. Il nous reste à montrer que, ) : Vo Pour ceci on applique le théorème du graphe fermé de Banach (cf. K. Yosida [a3j) qui nous assure que: R(B'): (Ker(B))o : Yo ce qui démontre 1)

. Vo, Tlouver 1t) :'tL -uo e I/ tel que ) lr(,,u) :( l,u ) -a(us,u) Yu e v ou qui satisfait: rAw:r(I-Auo)

I. Puisque-ra-est-un-isomorphisme-de-v-dans, alors Ie Problème P a une unique solution LL:'u,o * w e V(ù et on a: ll.llx < cllltr(l -Auo)llt, ( "rlll -Auollx, donc: ll"ll' 3 "r(llt llx' + llxllm

I. Donc and . ?vo, d'où d'après le lemme 1 il existe un unique À e A''I tel que: B'À: I -Au avec: llÀllrr = ltt, -Aully, 1 ca(llzll

B. Donc, . Continu, and M. Bijectif-de-vr-dans, Donc d'après le lemme 1 la condition (9) est vérifiée. r20 On va montrer maintenant que rA est un isomorphisme de V dans V' . On vérifie d'abord que I'opérateur rA est injectif sur V, p.0

. Tel-que-au-e and . Vo, Puisque la condition inf-sup est vérifiée, d'après Ie lemme 1

I. 'opérateur-b-est-un-isomorphime-de-m-dans and V. , Donc il existe un unique À e M tel que: B'). : -Au Donc on a, p.0

D. Soit and I. Vt, Puique a(., .) est V-elliptique on peut appliquer le théorème de Lax-Milgram, donc il existe un unique u ? V tel que: a(u,u) :<-1,u ) Vu ? V ou sous une forme équivalente

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