Poguntke pose la question suivante : Soit N un groupe.o*.*" nilpotent soumis à I'action d'un groupe résoluble con Est-ce que tout idéal G-premier dans l,t(N) est le noyau d'une G-orbite dans Û, resp. n* ? Nous ,
les idéaux premiers fermés propres, les idéaux maximaun et les noyau:r des représentations unitaires irréductibles coihcident . Dans I'algèbre 5(G) ceci est encore le cas à condition de supposer que les idéaux premiers sont en plus fermés dans la topologie induite pax une norme continue quelconque ,
KerrljQr))t: {0}, où j(zr) désigne I'idéal minimal fermé de L'(G) d'enveloppe {zr} ( ,
ne sont plus nécessairement fermées Elles restent cependant ouvertes dans leur adhérence (tB.c. et al]) En effet, soit G le groupe a,fÊne (composante connexe) djalgèbre de Lie E: (X,Y) vérifiant lX ,
Lie connexe, simplement connexe dont I'algèbre de Lie go,z est engendrée par les vecteurs Eo, Esl: Es' lÛo, p.84 ,
Soit (': Ei + Ei e gâ,2 et posons tt: ll^' Dans ce cas, l'orbite de /1 dans n* sous I'action de G6,7 est donnée par orr:R4+RE;+ Ei+RiE ,
ns g[, est obtenue par les équations cartésiennes ( *r:lnrs * rzrs J xq:t I rseRi I xorrzrt3 ? lR, CHAPITRE 10. CONCTUSIONS hEô + qEî * r2Ûi * rsEi + nvEi * ',sFii désignant un point de t'àtU-it". On voit doric que cette orbite dans g[,7 est fermée (,Ei étant une direction asymptotique), alors que sa projection sur n* ne I'est pas ,
un groupe de Lie nilpotent G soumis à une action er<ponentielle O. Iaes idéaux O-invariants ma,rcimarx de '01(G)' resp. s(G) coincident avec les noyaux KerO, resp. KerO nS(G), O désignant une orbite fermée dans g* pour I ,
De plus, I'application Q r---r Ker O ,
$ est nilpotente, c,est-à-direilexisreM e Nrelque (KerO/i(O))"' : {0},i(o) désignant l'idéal minimal ,
Notons re : indfi XV,p) la 2t0 CHAPTTRE 1.0. CONCLUSIONS 2LL représentation induite du caractère 1a sur I'espace Ip(R') identifié à l'espace des fonctions { de G dans C telles que Ë@ ' h) :ffi ?(t) : e'i, p.1 ,
o@)?) (v) : a(r)-r r n ç@ ,
nt dans la définition de la mesure semi-invariante sur GIH (1.4.) Alors rraetune représentation topologiquement irréductible sur llo(R) et une représentation algébriquement irréductible de Zr(G) sur un sor$Fespact dense de Ir(R) Dans l'algèbre enveloppante U(g) soient les éléments centraux 5 : TZ -XY et, ). L'élément R est autoadjoint et on vérifie que ,
G) engendré par {r-(t -rG-il o)*l |t,secr(o}' on a I cKerro ,
Remarquons qu'une méthode *ulogn" a étê utilisée par Duflo et mentionnée dans (pep.]) pour montrer qu'aucun groupe de Lie conneD(e' semi-simple non compact ne possède la propriété de rWiener ,
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