I. Proposistion, Si I/ est une algèbre de Hopf graduée, alors f/s est une sous

. Preuve, En effet .I/o est stable pour la multiplication, et A(I/0)

. Preuve, Puisque Ho -t, et qué I/s contient toutes les sous-cogèbres simples de f/, alors il ne peut y'avoir qu'une seule sous-cogèbre simple de dimension 1, d'où f/ est irréductible pointée

H. Algèbre-de-hopf-de, Alors I/ est libre comme B-module à gauche

. D. Preuve, aprés la proposition [Vn3, I/ est irréductible pointée, d'où par le corollaire du lemme m

. Preuve, On sait que CoradH Ç Ho, donc d'aprés le corollaire du lemme m.1.2 (chapitre 2), fi est lible

. Commentaire, Soit g une algèbre de Lie de dimension finie, et soit A(g) -{W çU(ù, tel que: W est une sous-algèbre etU(g) est libre comme module sur W ), On sait que si g est semi-simple le centre Z(g) e A(g) tt2l. Mais en général Z(g) ê A(g)

. C. Proposition3, est une sous-algèbre de Hopf de A commutative et de dimension finie

A. Supposons-que and . Soit-cocommutative, serait engendrée par ses éléments primitifs (voir [4]) ce qui contredit le fait que c ( E. Revenons au cas où A n'est p:rs supposée cocommutative. C" est toujours commutative de dimension finie, donc I'espace dual Ci de C" est une algèbre de Hopf graduée connexe cocommutative. La remarque ci-dessus donne que Cl est commutative. Il en résulte que C" est cocommutative, et par [14] C. est engendrée par ses éléments primitifs ce qui contredit le fait quecÇE

V. Théorème, Si I/ est une algèbre de Hopf graduée connexe, dont la graduation s'arrête, alors iadimension de If est finie

. Preuve, Conséquence du théorème V.l, par la finitude de la dimension d'.une'algèbre exterieure engendrée par un espace vectoriel de dimension finie

H. Hopf-de and A. De, En particulier, il s'est intressé a savoir quand est ce que les sous-algèbres de Hopf d'une algèbre de Hopf ont toutes des sous-algèbres d'invariants distincaes

I. Ch, AIeèbres de Hopf et théorie de Galois On va donner maintenant, les résultat principaux de J

?. Puisque and . Un-morphisme, * : (h1h2...h"-t).(h".m) : (h th2...h "- 1) . e(h ")* : ... : e (h t) e(h2)

?. Donc-si-Â and *. , * e", où chaque ai est un produit d

. Preuve and ?. Supposons-qu-'il-existe-un-t, El que 0 * t ? Iar. D'après le théorème IV.2.7 du chapitre II, I/ est libre comme ff1-module à gauche donc il existe êrtêztêst, re, des éléments de H tels que: H:Hl,erff-HÉ2e...@Hren

. Puisque, Ao.si.rr : o,tt ett.e2: a2t pour a1,a2 éléments de Ik, et puisque t ? H1, il s'ensuit eue c1 et c2 sont non nulles, donc (a2t).e1-(afi), pp.2-3

*. Ia, Par conséquent e1 et e2 sont liés, ce qui contredit le fait qu'ils appartiennent à une base.de I/ sur I/r

M. and *. Mh, Soient I/ une algèbre de Hopf de dimension finie, et M un If-module fidèle. Si .Hr * Hz sont deux sous-algèbres de Hopf de If, Théorème 1[4]

*. Ïrr, Soit f/ une algèbre de Hopf de dimension finie, Théorème 2[4]

. Preuve, Pour démontrer ce théorème on va étudier deux cas selon que H2 est de dimension finie ou infinie Premier cas: La dimension de H2 est infinie. Par la proposition I.5, Hi"' : {0}, or H1 est de dimension finie donc par la même proposition on a Hi"o # {0}, d'où le résultat. Deuxième cas: La dimension de H2 est finie. Alors Hi

. Donc-celà-revient-dans-ce-cas-À-montrer-gue-/-a, Pour celà considérons la sous-algèbre de Hopf B :1 Hr, Hz ) de H, et supposons que frr: Ïrr:.I, alors -f est un idéal de B. Comme.I est unidimensionnel, et I ç B, par la propositon I2Ol, B est de dimension finie. Donc Is : Ir, : Ir

I. Théorème, Soient I/ une algèbre de Hopf , et M un I/-module fidèle

. Preuve, B. Soit-la-sous-algèbre-de-hopf, and *. Mh, 1 Ht, Hz ) de I/, alors IJ1 est une sous-algèbre deHopf deBalorsMB:MHr:MHr. Soit0 *t? Ïnr, donc trs, .(t.M): 0 ce qui implique que t.M ç MHt -, MB, d'où us.(t.M) Ç un.MB. Or B agitfidèlement sur M, Sionsupposeque MHt = MH

I. Ch, AIsèbres de Hopf et théorie de Galois d'après le théorème II.5 chapitre I,([n) l0 car f/ est semi-simple, d'où ann(M)nker(e), p.0

M. Preuve and M. Mktn, Supposons qu'il existe .t une sous-algèbre de Hopf de dimension finie distincte de k1a et de H. Par le théorème n3, ML f A4ar, Comme M est simple, alors ML : MH : {0} ce qui est faux par le théorème tr.3. Remarques

S. and /. Est-intègre, ker(e) : {0} est équivalente à M est un module fidèle En effet, si ann(M) + {0} alors on peut considérer un élément c non nul de ann(M), considérons un élément g non nul de lcer(e), un tel élément existe du fait que dim ker(e) = (dim H) -1 + 0, Comme ann(M) et leer(e) sont des idéaux de I/, alors xy ? ann(M)nker(e). Puisque If est inêgre, nA + 0 et par suite ann(M)nker(e) + {0}

S. and /. De, Hopf de dimension finie suffrieure strictement à l, alors If n'est pas intègre. En effet" soit 0 * t e I, "t soit 0 #, e leer(e),tae: e(r)t:0. ce qui prouve que I

I. Si-dans-le-théorème, on prend H1 et H2 de dimensions infinies, le résultat n'est plus vrai en général En effet, soient g une algèbre de Lie de dimension finie et 91 une sousalgèbre de Lie de g. On sait que I'algèbre enveloppanae fl(gr) de 91 est une sous-algèbre de Hopf de I'algèbre enveloppante qg) de g. Si on considère 1I(g) comme module sur elle même, alors il est fidèle, et il est facile de voir que 11(g)u(o) -ll(g)tr(s') : {0}

G. Soit, ,n} un groupe fini, et soit (V, z-) une représentation de G, avec V un espace vectoriel de dimension finie. On sait que zr se prolonge en un morphisme d'algèbres; 'r : k(G) ---+ End(V), défini par: i:n i:n fr (r) : fr (D, lc$ r) : D k, p.0

I. Définition, Soit G1 un sous-groupe de G, VG, : {t: eV : g.u: u Vg e Gt} est I'ensemble des invariants de V sous I'action de Gr

. Preuve, . Soitu-e, and . Vgr, (g)u,care(g): l pourtoutg ?Gt, d'où pour tout r : DsçG1ksg e k(Gt ), ae.u : DseG,le ng.a : Dge Gr kne(g)u : e(z)u, d'où tr ? Vk(Gr) Donc VG, C I, issue.e

?. Dgec, u : DgeGrkoe(g)u : (Dcec, kn)u, car e(g) : L. Donc g.u : u, pour tour g ? Gr, d'où u eVG, On conclut que Vk(Gt) CVGv

I. Définition, I. Soit, and . /-un-espace-n, ron:l,une partie A -{et,...,en} deV est dite presque-libre si elle vérifie la propriété suivante:f k;e; -0, où (,t;)1(rSn C k, implique que i:n i, p.1

. I=1-remarque, Utsystème libre est presque-libre

I. Ch and . De-hopf-et-théorie-de-galois, r: I k;gr ek(G),tel que n.'t):0 vu e v, alors (lkufi.u: (t k;tr(g;))(u):0 pour i:7 'i.:l i,=r i:o i:o

. Ce-qui-implique, donc le; : 0 pour tout i : 0,...,n, car i=o i:L i--L i:l {"(g;); i : 0, ...,n} est libre dans End(V), d'où r :Dlr;g, Donc V est fidèle, p.0

S. Réciproquement and . Maintenant-que-v-est-fidèle, Donc â est injective, par suite fr({g;; i :0, n}) : {n(gt); i :0,...,n} "r, ttb.";=, i i) Supposons que {"(g;); i:0,...,n} est presquelibre. Soit r : t leigi un élément de i=0 ann(V) î ker(e), donc ! lc, ù:Ùann(V) n Ëiifq-{0}

. Réciproquement, supposons maintenant que ann(V)nker(e) -{0}. i:r

. Preuve, Découle facilement du théorème II.3, de la propositon III.3, et du lemme III.2

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