. Dans-le-paragraphe, on travaille avec I'espace de Hilbert p(nl -Lz(S',CI n) Soit

M. Les-opératevrs and . Mr, opérateur de multiplication par la fonction scalaire z : eiî, mats L""tGLr(C ) n'est pas I'ensemble de tous les éléments cle

. Qui-commutent-avec-i-'opérateur-fuir, Un théorème dû à Pressley-Segal dans [PS] clont on reprend la démonstration nous donne I'ensemble des opérateurs de GL(H(') ) cpri cornmutent avec M", et qui est L*"o"GLn(0 ) groupe des applications bornées mesuralrles cle, CI ) . On donne aussi une démonstration de la proposition 2.3 dans le cas de n quelconque, du à Segal-Wilson [SW] dans le cas n:'L et qui nous donne f inclusion cles lacets continuement différentiables dans le groupe général l-inéaire restreint GL

G. On, (H@); de la topologie définie par la norme suivante

L. La-topologie-de, CI ) induite par GL,",(Ht"l; est donnée par Soit 7 : t 11rzk we fonction sur.91, à valeurs matricielles

. Dans-le-paragraphe, on introduit les modèles grassmanniens du sous groupe Q[/r, des lacetsTtelsqueT(1):1. OnadéjàvuquesiTest unlacet dansGL"(0 ) continuement différentiable, I'opérateur de multiplication M, est un élément de GLr, H@11, donc le groupe LGL^(A ) aglt sur la grassmannienne. L'ensemble des éléments de la

. Dans-le-paragraphe, une fonction cl'onde et son adjoint. d'une fonction tau, de I'identité bilinéaire qui permet cle définir la fonction tau et l'opérateur vertexn ces définitions sont données d'une manière formelle. on cite aussi quelques exemples concernant le calcul du produit de deux opérateurs pseuclo-différentiels, ce produit est donné par la règle de Leibnitz . On introduit a,ussi clans ce paragraphe la hiérarchie KP, et on donne le théorème fondamental (théorème et définition 4.3) qui donne cette hiérarchie et la définition de la fonction tau, les fonctions cl'ondes, des opérateurs d'ondes et de I'identité bilinéaire

. Dans-le-paragraphe-5, on introduit I'algébre de Clifford A(LI ) de I'espace vectoriei tr défini comme somme directe de deu-x espaces V etV* de dimension infinie, avec l, Cette algébre dite de Clifford est définie comme quotient cle g0 Grassma.nniennes, groupes de lacets et opérateurs vertex

W. Au-clépart-on-montre-que-si, . Dans-gr, and . Grli, tt , oo! alors WO:I'y* est constitué de fonctions du genre de la correspondalrce . On va considérer Ie cas régulier' c'est à clire clue si I,[,' est dans Groo alors par la proposition (3.11) les ensembles images par les deus projections orthogonales pr, pr+ : (=W)0 - H+ sont constitttés cle fonctions régulières donc les éléments de W e zW ont des projections orthogonales r'égulières .,r, ff9) et flf ) et sont donc des fonctions réguiières . De même pour les autres grassmanniennes Grf

. Dans-|e-cas-de-la-grassmannienne-gr1, on sait que I'ensemble image pa^r la projection ortlrogonal e W --+ I/9) est constitué de fonctions rationnelles . Ceci est équivalent à clire c1n'ii existe un polynôme p(z) tel que p(t)W C Hf) ce qui n

D. 'une-manière-similaire and I. , ensemble image par la projection orthogonale (zW)o ---+ I11 est r:91srirué cle fonctions rationnelles . On a besoin d'un polynôme g(:-1 I tel clue q(^-t 1II-0 c H('t. ce clui est équivalent à q(t)Hf) C W . On prencl q le pollnôme minimal cle la rrarrsfornration IvI, nf ) ll+'n Hy)

. Da, ns le cas inverse, il est évident que I'action de LpotLl, préserve Grs. et L,otLtn préserr-e

. Gr, 1 parce que l'existence cles polynômes p(z) et q(z) tels que p( :)I4, p.1

L. Le-groupe, des lacets régulier préserve Groo car les ensembles images par les cleux projections orthogonales pr-: W ----+ H9) .t pr+ : tV\ ---/{) sont constitués cle fonctions régulières, et LonLln préserve Gr. par ia correspondante caractérisation de Gr

L. Soient and L. , deux opérateurs pseudo-différentiels' donc, p.91

. Grassmanniennes, groupes de lacets et opérateurs vertex, p.6

G. La-grassmannienne, H) est I'union de toutes les strates !1

I. Soit and . Gr, Alors, o(l\') .sa,tisfait f identité bilinéaite r\, p.7

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