):rtt les résultats usuels du calcul cle lVlalliavin impliquent que, pour tout t dans ,
car les hypothèses sur h impliquent, d'après le lemme 2.9. de [28], que h(Qo,(e")) et h'(Qr ,
désigne Ia matrice de cova,ria,nce de Malliavin associée au processus stochasticlue 21, on a Ia formule d'intégration pax parties suivante ,
(n) Zr(- Iot OtU D'"r1d,s -H-r lt ,
ltre non normalisé pi étant continu par rapport aux trajectoires du processus cl'observation (cf, on peut fixer une trajectoire du processus g dans la formule, pp.3-45 ,
,Xa) désigne I'idéal engendré par I'algèbre de Lie L(X1 ,
,Xa), ilest facile de montrer, pil des résultats standards de géométrie différentielle, que pour tout (t, z) dans [0 ,
en prenant t : 0 dans la relation (3.49), on déduit que T @ ,
Alors, pour tout t dans ]0, Tl, Ie fi,ttre non nonnalisé pt admet une densi,té p1, qui, est dans I'espace de Schuartz S et I'applicati ,
Rappeions que s : {/ : IR' r IR r.q. VN-upler a,Yp ?lN, slp (t + lzl2)r lv" f (*)l < +oo} ,
est équivalent à prouver que sa transformée de Fourier est dans 5, i.e. que, pour tout p dans IN et pour tout a dars IN-, (3.52) sup (1 + l?l')*lv'o'(?)l ( fçe (J .sup (1 +lel\'lt(?)l < +""- CeR* Cen^ ^ tft comme, pour rour B d.ans N-, l?lBlp*l(?) : l+rru ei'?d'pq(r)1 ,
il eriste K(o,p) dans IR\, tel que pour toute foncti,on S dans Ctr, pp.3-53 ,
e III -Diffusions engendrées par un processus de Wiener de dimension infinie 100 ,
Qtl zf dans la formule d'intégration par parties de la proposition 3.2.4.4., on obtient que pour l0l: t (3.55) oir lu*ru rrr) d,p'(r) : E-lô(*r) z, Bî'Ê), i; lo' {'i:'*u) Hç ,
Âù) I'algèbre de Lie engendrée par les champs de vecteurs, Âa) I'idéal engendré par l'algèbre de Lie L(Â1,..., Âù dans l'algèbre de Lie L ,
Diffusions sur les variétés riemaniennes D'autre part, on sait d'après la relation (I.27) que la matrice de covariance de i\{alliavin IV\ ,
1) et la relation (5.23) impliquent que les hypothèses du théorème 1.1.3. de [29] sont vérifiées, ce qui nous ,
on utilise les résultats de la section précédente pour montrer que le filtre associé à un certain problème de filtrage non linéaire sur les variétés admet une densité de classe C-. On considère en fait une généralisation d'un modèle de filtrage non linéaire sur des variétés riemaniennes introduit par S ,
espace de probabilites complet et r.r.r, u deux processus de Wiener indépendants de dimensions respectives d et n. Soit M une va,riété riemanienne corlnexe , orientée, de dimension nt, muni de la métrique riemanienne gM. Soit GI(M) Ie fibré des repères linéaires sur M et pv la projection de GI(M) sw M. Désignons par (ri,e'), i, i : l, rn,les coordonnées locales dans un voisinage du point (2, e) dans GI(M) et par {ff,} Ies symboles de Christofiel de la connection riemanienne sur M, compatible avec Ia métrique giy ,
Notons A9 son relèvement horizontal par rapport à la connection {lT}.Alors, Âo est donné en coordonnées locales par ,
29) s'écrit rt : ro * Io' Âo(", r") d,s * Ir' ( a*i : a[(t,r) dt + aL\,rt,et) o dwf ( I a ,
aioçt, 11 ( *. -rî , u'o ,hl 'i :7r ,
Ie processus 11 peut sortir cle l'espace O(M), même si son point de départ ro est dans O(M). L" théorème 5.2-1. nous assure cependant que ce processus aet bien dénni sur [0, ?] si les champs de vecteuls Ar ,
Soit hrq,) les symboles de Christoffel de la connection a,ffi.ne sur N, compatible avec Ia métrique g7y} la tarnille des champs de vecteurs horizonta.ux canoniques sur O(N) p* rapport à la connection riemanienne hI), Hi, i : 1,..., n s' écrit comme ,
Diffusions sur les variétés riemaniennes Introduisons un champ de vecteurs h(t,n1,g) dépendant du temps, borné, de classe Csur .ôy', dont Ia représentation en coordonnées locales est donnée par 131 ,
daT o(s" /0 ( r ( t) : o ,
il est équivalent d'observer le processus stochastique (21)6.1s,r1 à travers o(s,O ( r < t) ,
observation (91)ç10,71 pâr At: PN(st), hçt, r,u) : hi (# --yl t fl &l or) s; : (At, fr) est la solution de l'équation différentielle stochastique sr : so * Io'irçs,r",s")ds * lot ,
notons rgl.t le fiItre assoc'ié o.u système si,gnal-observati,on ("t,At) soluti ,
une copie indépendante de I'espace de probabilités Considérons sur I'espace de probabilites (n, F,P;, l" processus (frt)rcp,rl à valeurs dans M, de même loi de probabilité que le processus (rt)rcp,rl. Ceci équivaut à dire que srrr I'espace çA, ftt: Pu(lt), p.32 ,
>o est une suite de Cauchy dans I'espace complet L'(O x [0,7] ,
une limite *: {rr,t e [0,7]], telle que a{ r,tp ll"l'*t) \t? ,
j') tend presque sûrement vers a1, le lemme de Fatou implique .E{ sup ll ,
,iv} C Z et une fonction f ,[0, ?] x IRM -, IR de classe Cf,'z , tels que f G,ù : f (t,rir ,
Itre non normalisé, on utilise Ia méthode de Ia "probabilité de référence' afin de transformer Ie processus stochastique {Ut,t ? [0,7]] en un processus de Wiener standard ,
défrnie sur I'espace (Q,F,F;) par Ia dérivée de Radon-Nikodym (,4.10) dP z-! d,P 17r: o' ' où (Fùrcp ,
Striebel lie le filtre zrt au fiItre non normabsé pt. zt: exp(|lr' h1,(s,r")d,u! *; I" lh(s ,
Wiener de dimension infinie, est de dimension finie, on a montré au chapitre III que, sous une condition de Hôrmander locale, Ie filtre non normalisé admet une densité de classe C-par rapport à la mesure de Lebesgue. La généralisation de ce résultat à un signal de dimension infinie reste un problème ouvert ,
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