. Comme-Û-est-une-fonction-de-cf-(-r-* and . Qor, ):rtt les résultats usuels du calcul cle lVlalliavin impliquent que, pour tout t dans

C. R. Ésultat and . Immédiat, car les hypothèses sur h impliquent, d'après le lemme 2.9. de [28], que h(Qo,(e")) et h'(Qr

. De, désigne Ia matrice de cova,ria,nce de Malliavin associée au processus stochasticlue 21, on a Ia formule d'intégration pax parties suivante

O. Qol-'{ and . Qo, (n) Zr(- Iot OtU D'"r1d,s -H-r lt

L. Fi, ltre non normalisé pi étant continu par rapport aux trajectoires du processus cl'observation (cf, on peut fixer une trajectoire du processus g dans la formule, pp.3-45

D. Xr, ,Xa) désigne I'idéal engendré par I'algèbre de Lie L(X1

L. De-lie and . Xs, ,Xa), ilest facile de montrer, pil des résultats standards de géométrie différentielle, que pour tout (t, z) dans [0

D. .. 'où-xl and . Qi:-t-(-x-t, en prenant t : 0 dans la relation (3.49), on déduit que T @

. Supposons-les, Alors, pour tout t dans ]0, Tl, Ie fi,ttre non nonnalisé pt admet une densi,té p1, qui, est dans I'espace de Schuartz S et I'applicati

. Preuve, Rappeions que s : {/ : IR' r IR r.q. VN-upler a,Yp ?lN, slp (t + lzl2)r lv" f (*)l < +oo}

. De, est équivalent à prouver que sa transformée de Fourier est dans 5, i.e. que, pour tout p dans IN et pour tout a dars IN-, (3.52) sup (1 + l?l')*lv'o'(?)l ( fçe (J .sup (1 +lel\'lt(?)l < +""- CeR* Cen^ ^ tft comme, pour rour B d.ans N-, l?lBlp*l(?) : l+rru ei'?d'pq(r)1

. Pour-presque-tout-y and . Dans-ii\f, il eriste K(o,p) dans IR\, tel que pour toute foncti,on S dans Ctr, pp.3-53

. Chapitr, e III -Diffusions engendrées par un processus de Wiener de dimension infinie 100

. Par, Qtl zf dans la formule d'intégration par parties de la proposition 3.2.4.4., on obtient que pour l0l: t (3.55) oir lu*ru rrr) d,p'(r) : E-lô(*r) z, Bî'Ê), i; lo' {'i:'*u) Hç

L. Notors and . Âo, Âù) I'algèbre de Lie engendrée par les champs de vecteurs, Âa) I'idéal engendré par l'algèbre de Lie L(Â1,..., Âù dans l'algèbre de Lie L

V. Chapitre, Diffusions sur les variétés riemaniennes D'autre part, on sait d'après la relation (I.27) que la matrice de covariance de i\{alliavin IV\

L. Or, U. Probleme, . Filtrage, and . Lineaire, 1) et la relation (5.23) impliquent que les hypothèses du théorème 1.1.3. de [29] sont vérifiées, ce qui nous

. Dans-cette-section, on utilise les résultats de la section précédente pour montrer que le filtre associé à un certain problème de filtrage non linéaire sur les variétés admet une densité de classe C-. On considère en fait une généralisation d'un modèle de filtrage non linéaire sur des variétés riemaniennes introduit par S

F. Soit-(-o, espace de probabilites complet et r.r.r, u deux processus de Wiener indépendants de dimensions respectives d et n. Soit M une va,riété riemanienne corlnexe , orientée, de dimension nt, muni de la métrique riemanienne gM. Soit GI(M) Ie fibré des repères linéaires sur M et pv la projection de GI(M) sw M. Désignons par (ri,e'), i, i : l, rn,les coordonnées locales dans un voisinage du point (2, e) dans GI(M) et par {ff,} Ies symboles de Christofiel de la connection riemanienne sur M, compatible avec Ia métrique giy

. En-coordonées-locales, Notons A9 son relèvement horizontal par rapport à la connection {lT}.Alors, Âo est donné en coordonnées locales par

. En-coordonnées-locales, 29) s'écrit rt : ro * Io' Âo(", r") d,s * Ir' ( a*i : a[(t,r) dt + aL\,rt,et) o dwf ( I a

. Âo-(-t, aioçt, 11 ( *. -rî , u'o ,hl 'i :7r

. Remarquons-que-contrairement-au-modèle-de-ng-caines, Ie processus 11 peut sortir cle l'espace O(M), même si son point de départ ro est dans O(M). L" théorème 5.2-1. nous assure cependant que ce processus aet bien dénni sur [0, ?] si les champs de vecteuls Ar

O. De and H. Notons-{hl, Soit hrq,) les symboles de Christoffel de la connection a,ffi.ne sur N, compatible avec Ia métrique g7y} la tarnille des champs de vecteurs horizonta.ux canoniques sur O(N) p* rapport à la connection riemanienne hI), Hi, i : 1,..., n s' écrit comme

V. Chapitre, Diffusions sur les variétés riemaniennes Introduisons un champ de vecteurs h(t,n1,g) dépendant du temps, borné, de classe Csur .ôy', dont Ia représentation en coordonnées locales est donnée par 131

I. Afl, daT o(s" /0 ( r ( t) : o

. Ce-qui-implique and . Qu, il est équivalent d'observer le processus stochastique (21)6.1s,r1 à travers o(s,O ( r < t)

. On, observation (91)ç10,71 pâr At: PN(st), hçt, r,u) : hi (# --yl t fl &l or) s; : (At, fr) est la solution de l'équation différentielle stochastique sr : so * Io'irçs,r",s")ds * lot

T. Pour-tout-t-dans-l0 and . Et-toute-foncti, notons rgl.t le fiItre assoc'ié o.u système si,gnal-observati,on ("t,At) soluti

P. (. Soit, une copie indépendante de I'espace de probabilités Considérons sur I'espace de probabilites (n, F,P;, l" processus (frt)rcp,rl à valeurs dans M, de même loi de probabilité que le processus (rt)rcp,rl. Ceci équivaut à dire que srrr I'espace çA, ftt: Pu(lt), p.32

. Par-conséquent and . Ia-suite, >o est une suite de Cauchy dans I'espace complet L'(O x [0,7]

E. Donc and . Possède, une limite *: {rr,t e [0,7]], telle que a{ r,tp ll"l'*t) \t?

. De-plus, j') tend presque sûrement vers a1, le lemme de Fatou implique .E{ sup ll

D. Notons, I. Telles-qu-'il-existe-nn-entier-m-e, and I. Un-ensemble-{h, ,iv} C Z et une fonction f ,[0, ?] x IRM -, IR de classe Cf,'z , tels que f G,ù : f (t,rir

. Pour-définir-le-fi, Itre non normalisé, on utilise Ia méthode de Ia "probabilité de référence' afin de transformer Ie processus stochastique {Ut,t ? [0,7]] en un processus de Wiener standard

P. Notons and . Probabilité-de-référence, défrnie sur I'espace (Q,F,F;) par Ia dérivée de Radon-Nikodym (,4.10) dP z-! d,P 17r: o' ' où (Fùrcp

. De-plns and . La-formule-de-kallianpur, Striebel lie le filtre zrt au fiItre non normabsé pt. zt: exp(|lr' h1,(s,r")d,u! *; I" lh(s

. Si, Wiener de dimension infinie, est de dimension finie, on a montré au chapitre III que, sous une condition de Hôrmander locale, Ie filtre non normalisé admet une densité de classe C-par rapport à la mesure de Lebesgue. La généralisation de ce résultat à un signal de dimension infinie reste un problème ouvert

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