, On va dans cette partie déterminer les groupes de -théorie pour la substitution de Tribonacci
, I-Définition et premières propriétés I.1-Substitution de Tribonacci Commençons par rappeler la définition de cette substitution
, On se donne un alphabet = {, }. La substitution de Tribonacci est définie par () = , () = et () = , que l'on étend aux mots par concaténation
, Continuons notre approche en regardant maintenant les configurations interdites pour cette substitution
, La substitution de Tribonacci vérifie les propriétés suivantes : 1. La substitution admet un point fixe défini vers la droite et que l'on note et appelle mot de Tribonacci
,
, Pour le mot fixe il suffit de poser en prenant le mot infini à droite donné comme la limite du processus de substitution (
, En effet le seul moyen d'obtenir est de partir de cependant on obtient () = ainsi le à gauche de interdit la configuration
, En suivant le même raisonnement les configurations , et sont également interdites
, En ce qui concerne la configuration , il est nécessaire que le du milieu provienne d'un élément cependant une fois cet antécédent fixé, le premier doit également provenir d'un or comme est interdit alors est aussi interdit
On vient de voir que est interdite ,
, Pour le cas , le seul antécédent qui serait possible est , celui-ci étant interdit l'est donc aussi. Dans le cas , il suffit de voir que cette configuration provient de la substitution d'une configuration qui est interdite
le provient d'un et pour obtenir un il faut nécessairement que celui-ci vienne de donc une partie de l'antécédent est qui est interdit ce qui vaut donc pour ,
, L'application 2 est induite par l'isomorphisme -équivariant
, La dernière application 3 est induite par l'isomorphisme de la Proposition 3.I.13 p, p.53
, L'application 0, est celle donnée dans le calcul de la -théorie du mapping torus (voir Proposition 2, p.44
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