, On va dans cette partie déterminer les groupes de -théorie pour la substitution de Tribonacci

, I-Définition et premières propriétés I.1-Substitution de Tribonacci Commençons par rappeler la définition de cette substitution

, On se donne un alphabet = {, }. La substitution de Tribonacci est définie par () = , () = et () = , que l'on étend aux mots par concaténation

, Continuons notre approche en regardant maintenant les configurations interdites pour cette substitution

, La substitution de Tribonacci vérifie les propriétés suivantes : 1. La substitution admet un point fixe défini vers la droite et que l'on note et appelle mot de Tribonacci

,. Le-mot-de-tribonacci-n-;,

, Pour le mot fixe il suffit de poser en prenant le mot infini à droite donné comme la limite du processus de substitution (

, En effet le seul moyen d'obtenir est de partir de cependant on obtient () = ainsi le à gauche de interdit la configuration

, En suivant le même raisonnement les configurations , et sont également interdites

, En ce qui concerne la configuration , il est nécessaire que le du milieu provienne d'un élément cependant une fois cet antécédent fixé, le premier doit également provenir d'un or comme est interdit alors est aussi interdit

. Dans-le-cas-de-la-configuration, On vient de voir que est interdite

, Pour le cas , le seul antécédent qui serait possible est , celui-ci étant interdit l'est donc aussi. Dans le cas , il suffit de voir que cette configuration provient de la substitution d'une configuration qui est interdite

C. Dans-le and . De, le provient d'un et pour obtenir un il faut nécessairement que celui-ci vienne de donc une partie de l'antécédent est qui est interdit ce qui vaut donc pour

, L'application 2 est induite par l'isomorphisme -équivariant

, La dernière application 3 est induite par l'isomorphisme de la Proposition 3.I.13 p, p.53

, L'application 0, est celle donnée dans le calcul de la -théorie du mapping torus (voir Proposition 2, p.44

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