, Cette question nous permettra d'analyser la place donnée aux unités de mesure dans l'application de la formule

, Selon vous quelles sont toutes les étapes qu'il y a dans le calcul d'une aire de carré, si vous deviez les donner un peu comme une recette de cuisine?

, Si des étapes sont distinguées par le groupe test, il est possible que l'absence de conversion dans notre algorithme soulève les questions spontanées attendues du type « à quoi correspond le fait d'associer « 2 cm » à « 2 » ? ou « pourquoi on utilise les mêmes nombres, nous ? », « pourquoi il n'y a pas de conversion » ? Et éventuellement, pour ceux qui auraient mobilisé la grille, la question : « est-ce que « 2 » correspond à un nombre de « cm » ou de carreaux ? » Nous faisons l'hypothèse d'une difficulté à distinguer des étapes (au moins pour le groupe témoin), avec une tendance à résumer le calcul d'aire à la seule étape de multiplication, Cette question a un rôle clé, elle nous permettra d'analyser un éventuel changement dans la capacité des élèves du groupe test à distinguer des étapes et des objets mathématiques entrant en jeu à chaque étape de l'algorithme, après la rencontre avec un algorithme différent

F. Dans-votre,

, Chapitre II) que nous faisons l'hypothèse d'une difficulté à expliciter ce qui est multiplié, notamment pour les élèves ne mobilisant pas l'idée de « grille », ainsi qu'une méconnaissance (normale) des distinctions nombre et valeur numérique. Nous attendons quelques réponses du type « un nombre de carreaux » et une majorité de réponses du type « la longueur du côté », sur lesquelles nous pourrions rebondir et demander des précisions, pourquoi « ça marche ». Cette question pourra être l

, Ces derniers pourraient par exemple faire des remarques spontanées du type « ah mais c'est vrai que chez nous c'est « les deux » (nombre multiplié et mesure) alors qu'en Mésopotamie ce n'est pas le même (nombre en système SP et mesure). » Les questions spontanées mentionnées à la question précédente pourraient aussi être observées à ce stade. Des questions spontanées du type : « Pourquoi on multiplie des « centimètres » ? », « que fait la multiplication ? », « pourquoi notre multiplication donne la mesure d'aire directement ? », « pourquoi cm × cm = cm 2 » pourraient être observés dans le groupe test. Les élèves ayant encore accès à la grille pourraient demander : « pourquoi multiplier « 2 cm » alors que l'on souhaite obtenir un nombre de carreaux ?, vol.6

, Cette question pourra être l'occasion de constater l'éventuelle émergence de questions spontanées dans le groupe test, du fait de la rencontre avec des unités de mesure d'aire non liées aux unités de mesure de longueur, du type : « pourquoi chez nous les unités de mesure ont le « même nom » ? » Peut-être que le groupe test donnera moins de réponses du type : « « cm 2 » parce que j'ai pris « cm » au début. » [c'est une réponse qui a du vrai, mais qui est elliptique] Des questions du type : pourquoi associer 4 à « 4 cm 2 », associer « 2 × 2 » à une mesure d'aire « 4 cm 2 », pourquoi « cm × cm = cm 2 » ? « pourquoi c'est facile d'ajouter juste « cm 2 » à la fin ?, Je rappelle (voir analyse préalable) que nous faisons l'hypothèse d'une difficulté générale à expliciter le choix de l'unité de mesure

, C'est quoi pour vous un cm 2 ? Nous attendons a priori des réponses du type « un carreau » et des réponses du type « une unité de mesure d'aire » ; sans distinction entre les deux groupes

, A quel moment on est passé de longueur à surface dans la tablette?

, Cette question a aussi un rôle clé, puisqu'elle insiste sur l'existence de l'outil intermédiaire entre les grandeurs (longueur, aire) : le nombre en système SP lié aux tables métrologiques. Elle nous permettra d'analyser l'émergence d'éventuelles questions spontanées des élèves liées à la rencontre avec le texte ancien. Ce sera peutêtre l'occasion pour eux de signaler « l'absence » de tables métrologiques et la possibilité d'utiliser les mêmes nombres, pour exprimer les valeurs numériques de grandeurs et les nombres à multiplier

, Est-ce que vous appelleriez "mathématique" le travail qu'effectuaient les scribes mésopotamiens ? Puis : vous semble-t-il identique au travail que vous effectuez en cours de maths ? Pourquoi ?

, Cette question doit permettre d'identifier la façon dont les élèves identifient la différence, la diversité, lorsqu'ils y sont confrontés, l'intègrent ou non comme une possibilité scientifique, et comment cela va influer sur leur rapport à l'histoire, favorisant ou non des réactions « positivistes

, Première Période : les mathématiques dans le monde ancien (septembre-février)

, Deuxième Période : l'astronomie à la Renaissance (février-mars)

, Troisième Période : naissance de la génétique aux XIX ème et XX ème siècles (avril-juin)

. Programme-détaillé-de-la-première-période, Première Période : les mathématiques dans le monde ancien

, Septembre : introduction générale à l'enseignement découverte

, Septembre : histoire des mondes antiques 1 (avant Alexandre le Grand, raconté du point de vue mésopotamien

, Séances sur les mathématiques en cunéiforme : 30 Septembre : TD1 Ecole des scribes

, Octobre : TD2 Calculs avec des jetons (C.Proust, M.Husson, B.Jamin)

, Octobre : TD3 Tables métrologiques et systèmes d'unités de mesure (C.Proust, M.Husson)

, Novembre : TD4 Calcul de l'aire d'un carré

. Séances-«-euclide, préparation d'ateliers cunéiformes CM2, interviews : 18 Novembre : Histoire des mondes anciens (période hellénique et romaine, du point de vue mésopotamien

, le texte des Eléments (M.Husson), vol.1

. Décembre, Euclide 2 : analyse d'une démonstration en demi-groupe + préparation d'ateliers cunéiforme (autre demi-groupe) + entretiens 1 (M.Husson et le remplaçant de B.Jamin)

. Décembre, Euclide 3 : construction d'un carré d'aire donnée en demi-groupe + préparation d'ateliers cunéiforme (autre demi-groupe) + interviews 2

, Décembre : séance du professeur de philosophie (supprimée)

, Janvier : préparation d'ateliers en cunéiforme pour les CM2 + interviews 3 (M.Husson et le remplaçant de B.Jamin)

, Janvier : préparation d'ateliers en cunéiforme pour les CM2 + interviews 4 (M.Husson et le remplaçant de B.Jamin)

, Janvier : préparation d'ateliers en cunéiforme pour les CM2 + interviews 5 (M.Husson et le remplaçant de B.Jamin)

, Janvier : l'astronomie à la Renaissance (M.Husson

, Février : l'astronomie à la Renaissance (M.Husson et le professeur de physique

, Husson et B.Jamin) », c'est-à-dire : k) Pourriez-vous écrire exactement le même exercice avec un vocabulaire moderne ?, Février : ateliers en cunéiforme pour les CM2 (M

, Il s'agissait en effet d'avoir accès à une entrée en communication des deux algorithmes (ancien et actuel) chez les élèves, sans créer nous-mêmes des éléments de comparaison

, Quelle est la surface d'un carré de 3,4 cm ? Sa surface est 11, p.56

. Commentaire,

, de ce groupe a adopté la mise en page exacte de la tablette et a traduit « 2 doigts » en choisissant une valeur approchée de « deux doigts 255 » (?u-si), la valeur initiale de la tablette en cunéiforme (3,4 cm). Il a séparé les mesures du calcul. De ce fait il semble avoir vu que la conversion (mise en correspondance avec la table métrologique) était inutile (ou automatique) dans notre système métrique

, Oui je pourrais? mais j'en ai aucunes idées

, Quelle est la surface d'un carré de deux doigt côté

, Quelle est la surface d'un carré de 2 doigts au carré ? 10. oui: Quelle est la surface d'un carré de deux doigts de côtes ? Commentaire : Les élèves 8, 9 et 10 ne s'engagent pas dans la phase de « conversion » et ne donnent pas de résultat. Peut-être que cette absence de « partie gauche » de la tablette, témoigne d'une rencontre effective avec l'absence de conversion dans notre système. L'élève 9 a peut-être fait une tentative d

, Groupe Richelieu 11. Le côté d'un carré est de 2 doigts

, Soit Le côté d'un carré est de 2 doigts

, 14 de ce groupe a adopté la mise en page exacte de la tablette en bas à droite, et pas en haut à gauche. Ainsi, en gardant les valeurs de la tablette, les élèves ne s'engagent pas dans la « conversion » et il n'est pas possible de savoir s'ils interprètent une absence de conversion dans notre système. Peut-être que cette absence de « partie gauche » de la tablette, Les élèves 11, vol.12

, Groupe Heliopsis 15

, Quel est la l'aire d'un carré dont le côté est de 3,4 cm ? L'aire du carré est de 11, vol.56

, Quel est l'aire d'un carré qui a pour côté 3,4 cm ? L'aire de ce carré est 11, vol.56

, Si 2 doigts est le côté d'un carré combien vaut sa surface ? Commentaire

, Les élèves 16 et 17 de ce groupe n'ont pas adopté la mise en page exacte de la tablette mais ont traduit « 2 doigts

, Ils n'ont pas séparé les mesures du calcul, mais de fait, ils ont pu constater que la conversion (mise en correspondance avec la table métrologique) était inutile (ou automatique) dans notre système métrique. Le résultat de la mesure d'aire est donné en centimètres carrés

, Soit un carré de 2 centimètres de côté Quel est sa surface ?, Groupe Tournesol, vol.19

, Je pense que ca serait dure de pouvoir transcrire exactement, le même exercice, avec un vocabulaire moderne

. Commentaire,

, L'élève 19 a traduit la mesure de longueur en mesure de longueur en centimètres. La valeur numérique « 2 » a été choisie

. L'élève, 20 n'a pas utilisé la mise en page de la tablette mais a converti « 2 doigts » dans une valeur approchée et a peut-être donné une trace de « conversion en nombre » en enlevant l'unité de mesure pour le calcul

, Groupes Magnolia, vol.256

, En sachant que 2 doigt est (la mesure du/au) le côté du carré Calculez sa surface. Sa surface est donc de 1/3 grain

, Oui : soit un carré de 5 cm de côté. Calculer son aire

, Le côté du carré vaut 3,4 cm Combien vaut sa surface ?, Sa surface vaut, vol.11

, Le côté du carré vaut 3,4 cm Combien vaut sa surface ?, Sa surface vaut, vol.11

. Oui,

. Deux, Les résultats par groupes seront différenciés par la suite. Ces deux élèves (2 sur 22 soit environ 9%) ont choisi de garder et de traduire « 2 doigts » en une valeur approchée en centimètres, Le résultat est donné en centimètres également

, sur 22 soit 18%) supplémentaires ont peut-être traduit l'absence de « conversion », ce sont ceux qui ont répondu par exemple : Quel est la l'aire d'un carré dont le côté, vol.56

. C'est-À-dire and . Qu, Malgré tout il est possible également qu'ils aient simplement écrit le calcul d'aire actuel sans réfléchir aux étapes des algorithmes : il est difficile de conclure. Nombre d'élèves ayant potentiellement des difficultés à faire communiquer les systèmes Ces élèves n'ont pas explicité la présence d'une absence de « conversion », ils n'ont pas utilisé de valeurs actuelles, ou s'ils les ont utilisés, ils n'ont pas donné de résultat. -Un énoncé seul, avec les valeurs de la tablette : 4 élèves -Un énoncé seul, avec des valeurs en centimètres : 2 élèves -Un énoncé et un résultat, avec seulement les valeurs de la tablette

, Un élève mentionne la conversion, mais n'arrive pas à expliciter l'idée d'absence de conversion

, Choix des unités de mesure : -10 élèves choisissent d'utiliser les unités de mesure de la tablette cunéiforme (doigts, grains), soit un peu plus de la moitié. 9 sur ces 10 élèves utilisent « 2 doigts

, L'élève qui utilise 6 doigts a répondu ainsi : « Oui

, Deux autres élèves du groupe Dietes utilisent une formulation utilisant l'algèbre « c 2 » et « 2 2 » qui paraissent à première vue plus éloignées de la tablette

, dont : -adaptation sous forme de « Traduction » de « 2 doigts » en 3,4 cm (7/12 élèves) -choix différent : 5 cm ou 9 cm (2/12 élèves) -utilisation possible du « 2 » de deux doigts : 2 cm (1/12 élèves) -mise en page reprenant celle de la tablette : 1/22 élèves -formulation qui semble être éloignée de la tablette : 2/22 élèves groupe test, qui seraient liées à la découverte d'un fonctionnement mathématique différent dans le texte ancien, En résumé, les élèves ont trouvé plusieurs façons de « transposer » l'exercice. Je liste les résultats ci-dessous, en fonction du nombre d'élèves : -adaptation reprenant la syntaxe et vocabulaire de la tablette : 18/22 élèves Le dernier élève a répondu autrement : « Oui

«. De-type-«-c-×-c-»-ou, Comme cela était attendu, les écarts ne sont pas significatifs au test de Fisher. Seuls deux élèves du groupe témoin proposent en plus de la formule, une alternative qui ressemble davantage à une « explication » : l'un propose une représentation « grille », et l'autre essaye de « remplir » à l'infini le carré avec des « lignes » horizontales. Il faut aussi noter des erreurs dans la formule (6 élèves du groupe test, dont 3/4 faisant partie d'un même sous-groupe, Magnolia 2. Ces constatations confortent mon hypothèse de l'oubli ou de la méconnaissance de la représentation « grille », que j'avais associée à la difficulté de faire un lien conceptuel entre l'unité de mesure « carreau, Lorsqu'il est demandé aux élèves d'expliquer comment calculer l'aire d'un carré, la réponse attendue est quasi-unanime, donnée par les deux groupes : « la formule

, Justification de la formule

, Nous pouvions imaginer l'émergence de questions spontanées du type « je me demande pourquoi la formule marche » dans le groupe test, du fait de la rencontre avec la tablette. La majorité des élèves présents des deux groupes n'ont pu donner d'explication. 61% des élèves du groupe test disent qu'ils ne savent pas, pour 17% du groupe témoin. Les autres proposent une réponse ou justifient leur absence de réponse. Seul un élève propose, dans chaque groupe, une représentation « grille », à ce stade (5% du groupe témoin, 2,9% du groupe test), Lorsque la formule était donnée par l'élève, il lui était demandé de « dire pourquoi elle marche ». Nous pouvions nous attendre à des explications de type « grille » ou à un oubli de ce type de justification géométrique

, Les résultats sont assez homogènes : les deux groupes proposent en majorité, deux à quatre étapes. La seule différence notable est que deux élèves du groupe test font appel au cadre géométrique (« on remet les côtés en deux fois », « côté × côté ça fait un L »). Les questions spontanées envisagées en lien avec le détail des étapes n

, Qu'est-ce que l'on multiplie ?

L. Le-texte-ancien and . Nombre, système SP), semble au contraire ne pas représenter la longueur. Ici le nombre n'est pas présenté comme « indépendant » par les élèves, comme c'est le cas dans la tablette. D'ailleurs, c'est justement l'intérêt du système métrique actuel. Mais, ici c'est intéressant, les élèves expriment la capacité du nombre à « représenter plusieurs choses ». Il est possible que nous ayons accès à une trace de communication entre les mathématiques anciennes et actuelles. En revanche, aucune remarque spontanée plus explicite du type « ah mais c'est vrai que chez nous c'est « les deux » ! » n'est apparue. Enfin, cette question a aussi permis de lever un débat dans l'un des groupes test, la formule de l'aire du carré, opérant sur « un côté » ; les formules de l'aire du triangle et surtout du cercle (qui n'a pas de côtés) ne semblent pas relever pour eux du même type d'opération. Ici, l'expérimentation et le texte historique qui a inspiré nos questions, ont permis indirectement d'expliciter comment les objets mathématiques interfèrent avec l'interprétation des domaines d'application de la formule. Cette difficulté conceptuelle montre aussi à quel point l'identification des objets d'une opération ou d'un algorithme (qui prend ici en entrée un « côté » plutôt qu'un nombre de carreaux), rend mathématiquement difficile l'accès au sens profond de l'opération. Les questions spontanées envisagées du type « Pourquoi on multiplie des « centimètres ? », « que fait la multiplication ?, La question « est-ce que le « 5 » dans 5 cm est le même que le « 5 » dans 5 × 5 ? » [question adaptée aux valeurs choisies par l'élève] a permis de donner plus de détails, les différences sont significatives. Les résultats montrent en effet une disparité entre le groupe test et le groupe témoin. Les élèves du groupe témoin ont répondu à 62,5% que c'étaient « les mêmes

, Cette réponse renforce mon hypothèse d'une unité de mesure « démathématisée », qui sert uniquement d'indication de « contexte », de façon littéraire. 10% des élèves du groupe témoin et 17% du groupe test rappellent que c'est « parce que cm × cm = cm 2 ». Le calcul aux dimensions qui est un effet (utile) du système métrique devient un objet de justification. Cette explication de type « formule, pourquoi on peut utiliser les mêmes nombres, nous ? », auraient pu émerger davantage dans le groupe test

, Une différence est notable puisque 25,7% du groupe test et seulement 1 élève du groupe témoin soit 5% disent que « l'unité de mesure d'aire dépend de l'unité de mesure de longueur choisie ». Il est étonnant de trouver cette différence, puisque le texte historique présente des unités de mesure de longueur construites justement, indépendamment du système d'unités de mesure d'aire. Si l'effet est réellement lié au texte ancien (je rappelle que la formulation existe dans certains manuels scolaires), alors il est possible qu

, Qu'est-ce qu'un cm 2 ?

, En revanche, 48,6% des élèves du groupe test parlent directement du carreau ou d'un carré. L'esprit est peut-être le même pour ces réponses, la « surface » étant probablement considérée comme un carreau pour beaucoup d'entre eux. Les catégories que j'ai distinguées ne sont peut-être pas légitimes. D'autre part, l'idée de carreau ne signifie pas que les élèves mobilisent l'idée de « reporter » ni la « grille ». On trouve en faible proportion dans les deux groupes l'idée « un centimètre multiplié par un centimètre », reliant « multiplication » et construction géométrique. Parfois, les élèves font un « L » avec leurs doigts. Le calcul aux dimensions devient un objet de justification qui est interprété dans le cadre géométrique. Parfois ils entament une discussion sur la « (petite) taille » du centimètre carré. On retrouve seulement deux fois, dans le groupe test, une référence à l'utilité pour « mesurer », et donc une référence indirecte à l'étalonnage, Lorsqu'il est demandé ce qu'est « un centimètre carré », les différences sont significatives. Les élèves du groupe témoin répondent majoritairement « une surface » (31,25%), et 18,25% des élèves répondent « un carreau

, Nous avions fait l'hypothèse que quelques élèves retrouveraient alors (ou découvriraient) l'explication « grille » après l'exercice (suggestif) « piscine ». C'est le cas pour 4/20 élèves du groupe témoin et 7/35 élèves du groupe test, soit des effectifs restreints. Cela semble confirmer notre hypothèse de la perte chez une majorité d'élèves (du groupe témoin comme du groupe test) de cette justification de la formule de l'aire du carré par la grille, grille pourtant présente dans bon nombre de manuel (nous faisons ici l'hypothèse que la plupart des élèves, il a été demandé à nouveau aux élèves « pourquoi la formule marche

. D'une-manière-générale, Une autre différence statistiquement significative est constatée puisque lorsqu'il est demandé pourquoi indiquer « cm 2 », 25,7% du groupe test et seulement 1 élève (5%) du groupe témoin disent que « l'unité de mesure d'aire dépend de l'unité de mesure de longueur choisie ». Le texte historique présente des unités de mesure de longueur construites inversement, indépendamment du système d'unités de mesure d'aire. Cette remarque des élèves pourrait avoir été émise du fait de la constatation d'une différence. De plus, la question du passage de « longueur à surface » a fait émerger des distinctions dans le groupe test, qui a peut-être été influencé par l'algorithme ancien (les données ne permettent de conclure statistiquement). Mais à aucun moment des questions explicites, spontanées, n'émergent sur ce point. L'hypothèse de la perte du souvenir de la grille (cadre géométrique) est largement renforcée par l'exercice de la « piscine » où il était « plus naturel » de compter les carreaux que de calculer l'aire du fond. Après cet exercice, un petit nombre d'élèves des deux groupes expliquent l'aire du carré par la « grille ». Les effets du texte ancien semblent donc confirmés, mais peu explicités. Les questions spontanées envisagées n'apparaissent pas. De même que dans les traces écrites, où l'absence de conversion donnait lieu à une impossibilité pour beaucoup, de comparer les algorithmes. Ici les questions qui nécessitent une forme d'explicitation, n'émergent pas. En revanche, dans les traces écrites, des formes d'influences ont pu être constatées. Pour au moins deux des élèves, il y avait même comparaison complète des algorithmes à la question « k ». Lors des entretiens également, des traces d'influence par le texte ancien sont observables. Du point de vue des étapes de l'algorithme, l'un des groupes semble réutiliser la formulation « par étapes », de l'algorithme ancien, lors de l'entretien. Ceci indique peut-être une prise de conscience conceptuelle sur les nombres et de fait, l'absence de conversion. Les réponses à la question « qu'est-ce qu'on multiplie » sont statistiquement significatives d'une différence. Le groupe test (62,9% à 0%) semble mobiliser davantage l'idée que le nombre « représente quelque chose », une trace de « côté, les résultats révèlent deux points importants : d'une part les hypothèses sur les difficultés associées à la compréhension par les élèves de l'algorithme de mesure de l'aire d'un carré paraissent majoritairement vérifiées. D'autre part, les effets du texte historique semblent laisser des traces de modifications conceptuelles, mais elles ne donnent pas lieu à explicitation par les élèves. Les résultats écrits à la question « k 263 » laissaient envisager cette possibilité qui est confirmée par les entretiens. Les questions spontanées n'apparaissent pas, les indices indiquant des prémisses de modification de conception sont ténus. La perte du souvenir de la grille justificatrice paraît confirmée dans les deux groupes

, Les difficultés envisagées en lien avec cette représentation sont confirmées : on trouve l'expression suivante : « cm × cm = cm 2 , et ça fait le carreau ». L'idée de carreau ne signifie cependant pas que les élèves mobilisent de reporter l'unité de mesure, ni l'utilisation d'une grille (dans un cadre géométrique). De plus, elle semble majoritairement associée à une indication littéraire contextuelle (« indiquer qu'il s'agit d'une aire »), à 45% dans le groupe témoin et 40% dans le groupe test. Pour tous, les objets sur lesquels l'algorithme de calcul opère ne sont pas identifiés clairement, et le concept d'unité de mesure n'est pas, ou plus, relié spontanément à l'idée de reporter un étalon (mesurage)

, Cet effet est souterrain, difficile à expliciter par l'élève, et il ne touche pas toute la classe de la même façon. De plus, les traces sont fines et les indices difficiles à identifier (bien que plusieurs fois statistiquement significatives). Les questions sur les mathématiques pourraient avoir donné accès à un autre changement, significatif, dans la conception qu'ont les élèves des mathématiques, du fait de la rencontre avec l'histoire. Ce changement concernerait alors « nature des mathématiques, En définitive, les résultats de cette partie mathématique montrent d'une part, que la présence de difficultés envisagées (dans les mathématiques actuelles) est vérifiée dans les deux groupes et concerne des aspects épistémologiques

, Partie « nature des sciences » (historique, mathématique)

, Je vais détailler ici les questions qui ont été posées aux deux groupes (test et témoin) concernant les mathématiques et l'histoire

, Qu'est-ce que les mathématiques ?

, La question était : « est-ce que c'est des mathématiques ce qu'ils font en mésopotamie ? » 265 . La comparaison n'est pas scientifiquement complètement légitime. Pourtant, la majorité des catégories se retrouve dans les deux groupes, selon cette méthode. De plus, il est sûrement difficile d'avoir accès à autre chose que des réponses très générales, vagues, avec des questions si ouvertes. 30,3% des occurrences dans le groupe témoin pour 3,6% dans le groupe test font appel au caractère logique des mathématiques. La formulation de la question ou la séance, ont pu avoir un effet sur cette catégorie. Le caractère « utile » des mathématiques est exposé par 21, Pour traiter la question « qu'est-ce que les mathématiques », j'ai utilisé pour le groupe test, les critères relevés indirectement par les élèves pour décider si ce qui a été rencontré en Mésopotamie est considéré comme mathématique ou non 264

, Le nombre de débats est légèrement plus élevé dans le groupe test (3 pour 1). L'un des débats concerne une compréhension partielle du travail du scribe, qui est assimilé à un travail « par coeur » sans réflexion. Il faut noter aussi des remarques aux autres questions posées au groupe test, qui vont dans le sens d'une assimilation du travail sur l'aire du carré ancien au niveau actuel de primaire et collège est conforme à une tendance qui se retrouve même chez certains historiens, et que j'ai repérée par exemple, dans mon travail sur, D'autres catégories se trouvent en minorité, dans l'un des deux groupes. Quelques discussions sur l'apprentissage par coeur « sans réfléchir », émergent dans chaque groupe. Elles sont peut-être liées aux questions que nous avons posées sur la formule en début d'entretien, 2016.

, Que la réponse soit « oui » ou « non », j'ai gardé seulement le critère de classification

, En effet, le manque de temps pour terminer les débats avait affecté le nombre de sous-groupes ayant répondu à la question « qu'est-ce que les mathématiques

. Qu, est-ce qui est important quand on présente un texte historique ?

, La réflexion semble liée pour les élèves à la question précédente sur l'histoire des sciences, et certains élèves réfléchissent à ce qu'ils trouveraient important à dire dans un cours d'histoire des sciences. Les réponses dans les deux groupes, sont majoritairement portées sur le fait de « donner des précisions de contexte » sur la source. Des catégories relevant du groupe témoin comme « présenter les étapes de la recherche, le processus de réflexion » (6 occurrences) en histoire des sciences, ou faire référence au présent, ce qui a « servi » (5 occurrences) (ex : en quoi ces trouvailles sont-elles utiles aujourd'hui ? Comment utiliser l'histoire pour s'améliorer ?) sont absentes dans le groupe test. Une hypothèse serait que les conceptions des élèves sur les possibilités d'utilisation de l'histoire des sciences ont changé dans le groupe test. Le thème des erreurs, de la fiabilité de la source, La question « qu'est-ce qui est important quand on présente un texte historique » a été méthodologiquement intéressante

, Le groupe test propose sept « discussions complexes » qui ne sont pas présentes dans le groupe témoin : 1. Questions sur le statut de la source par rapport à l'éventuelle subjectivité de l'auteur

, S1: Eh bien, par exemple, si nous écrivions pendant la guerre, les pays adversaires n'auraient pas la même version. Donc, si le texte a été écrit dans un pays

L. Difficulté and . Le-besoin, ou non) de connaître l'auteur en fonction du type de source: S2: Ce que je veux dire, c'est que l'auteur n'est pas essentiel dans tous les documents

, Moi: Pourquoi? S2: Parce que hum ... pour savoir, pour la culture, pouvoir comparer ... avec d'autres [...] mais hum par exemple un problème de maths, vous ne vous demanderez pas ... qui l'a écrit, je veux dire ... que ce soit ta grand-mère ou un gars que tu as croisé. S3: Un problème mathématique, c'est différent et, Eh bien, je veux dire pour un roman, pour un article et tout, d'accord, nous en avons besoin, je suis d'accord avec S3

, S5: Cela nous ferait faire un pas en arrière, n'est-ce pas? [des rires] Moi: Cela vous fait prendre du recul? S6: Eh bien peut-être que ça peut aussi nous faire progresser, parce que nous savons déjà que ce n'est pas correct, alors on peut déjà en retirer une, S5: Eh bien, 1997.

, chaque historien doit avoir eu une hypothèse, ils ont essayé et tout ... et hum ... ils ont vu ce [signe cunéiforme] qui signifie "1" et essayé sur plusieurs tablettes et ainsi ... ce hum ... les a amenés à croire que cela signifiait 1. S8: Je pense que oui, elle a raison, beaucoup de gens doivent avoir hum ... décrit ce hum ... tablette, certains avaient de bonnes réponses et certains ont eu de mauvaises réponses, et ... je n'aurais pas aimé en apprendre une mauvaise. S7: Ça ne devrait pas ... hum ... ça doit être un travail collectif, il doit y avoir plusieurs points de vue. S8: Oui, c'est ça, ça doit être démontré et, et impressions que l'interprétation se dessine à partir d'un consensus : S7: parce que, hum

, en fait chaque étudiant pourrait aussi donner son avis, ça pourrait aider les historiens. S8: Oui. S7: Parce que hum ... tout le monde peut donner son avis et avoir raison hum ... peut-être grâce à notre hypothèse ou nos commentaires, Ce débat a conduit à un débat sur le rôle et l'implication des élèves : S2: C'est intéressant mais

, Besoin de connaître les bases mathématiques pour comprendre la source

, Moi: Le contexte, pour vous, cela donne de l'intérêt? Le contexte ... de la source, par exemple? S10: Je ne sais pas. S9: Eh bien, peut-être pas d'intérêt, mais ça aide à comprendre, Le rôle du contexte qui est interprété par l'élève comme un outil de motivation: S9: Nous devons savoir

, afin que nous ayons un premier exemple, pour savoir ce qu'ils ont fait [les scribes], et on pourrait essayer de mettre chaque lettre dans hum ... la traduction, pour tout le monde comprenne, puis essayer de traduire par nous-mêmes, avec un exemple, Et l'impact du statut de la source (brute, à déchiffrer ou non) sur la motivation de l'élève et / ou pour adopter une approche scientifique: S11: Je la donnerais traduite

. C:-d'accord, Est-ce qu'ils vous disent cela en classe d'histoire ? Tous: Non. Pas beaucoup

, le calcul, mais pour moi, c'est brut. Parce qu'avec l'aide c'est trop ... facile. Nous obtenons la réponse et le hum, tester, pour faire nous-mêmes les choses, pour comprendre par nous-mêmes et ensuite nous pouvons demander la réponse pour vérifier, puis continuer à faire hum

C. De and L. A. These, Je vais orienter la conclusion de ma thèse autour de plusieurs axes : 1. Je vais présenter les résultats obtenus sur les concepts liés au calcul d'aire grâce à l'analyse croisée entre histoire et didactique et les perspectives pour l'enseignement. 2. Je vais discuter les résultats de la thèse concernant les apports réciproques de la didactique

, Enfin, j'ouvrirai sur les questions méthodologiques et les perspectives de recherche à venir

R. Enseignement,

, Conclusion historico-épistémologique

, mené une analyse historico-épistémologique de plusieurs tablettes en cunéiforme de différentes périodes, dans le contexte de métrologies semi-indépendantes. La tablette des Dynasties Archaïques VAT 12-593 (voir 2.4.2 p. 112) témoignait d'un contexte additif unidimensionnel

, Je les ai regroupés selon les catégories suivantes : -la conception du nombre dans l'algorithme de calcul d'aire -le lien entre opération physique et opération sur les nombres -l'entrée en jeu de la bidimensionnalité et son lien avec les cadres géométrique, arithmétique, et la mesure entre aire et nombre par Perrin-Glorian ; ou encore des travaux australiens de Outhred, Mitchelmore et Owens, les pratiques ne sont pas uniformes selon les manuels. Cependant, la liste des points que j'ai pu dresser, sur lesquels ils se prononcent (ou non, majoritairement), montre clairement qu'il y a bien un objet d'apprentissage autour de l'unité de mesure d'aire, sur lequel il me semble nécessaire de prendre position en recherche. L'introduction de l'unité de mesure d'aire arrive au même moment que d'autres apprentissages-clés : la bidimensionnalité, l'introduction de la lettre et implicitement, la dépendance fonctionnelle. Le passage de la structure additive à la structure multiplicative est aussi réinvesti (il est généralement travaillé en amont dans le cadre géométrique), le calcul d'aire était mené pour plusieurs systèmes de tables métrologiques, vol.6484, p.132

, Conclusion de l'expérimentation en classe du point de vue mathématique

, Malgré tout, l'analyse des manuels a permis de soulever des hypothèses sur les difficultés des élèves, qui sont confirmées par l'expérimentation. Je me suis demandé si le texte ancien pouvait, dans ce contexte de difficultés, activer les questions que se poseraient les élèves sur l'utilisation « automatique » d'une formule qu'ils connaissent bien. J'y reviendrai. Je vais d'abord rappeler ici les résultats strictement mathématiques de l'expérimentation. Je m'étais posé les questions suivantes : est-ce que les changements de cadres ont des effets sur la représentation que se font les élèves des objets mathématiques comme l'unité de mesure ? Comment coordonnent-ils les registres, le registre des figures est-il abandonné ? Le contrôle du sens de ce qui est fait (que les manuels souhaitent favoriser dans la façon dont ils introduisent la formule par le compte des carreaux) est-il encore possible dans ce contexte troublé ? Les résultats sont clairs : si la formule est majoritairement retenue (quelques erreurs seulement), les élèves n'arrivent pas à la justifier. Ils ne font pas appel à la grille. Les élèves utilisent en majorité des formulations hybrides du type : « 2 × 2 = 4 cm 2 », qui semblent représenter en une seule expression toutes les étapes de l'algorithme. Lorsqu'il est demandé de détailler ces étapes, environ 30% des élèves mentionnent l'ajout de l'unité de mesure à la fin, Dans le cadre de mon expérimentation en classe, j'ai utilisé les catégories issues de l'analyse historico-épistémologique ainsi que l'analyse préalable basée sur ces catégories, pour dresser une liste des difficultés qu'il serait probable de constater en seconde. Les élèves de seconde ont reçu d'autres enseignements, ce qui interdit de faire un lien trop direct entre les manuels de CM2 et leurs conceptions

, Parfois le cm 2 est le résultat de la « multiplication » : cm × cm. Lorsqu'il est demandé « qu'est-ce qu'on multiplie », aucun élève ne répond « un nombre de carreaux ». Il s'agit plutôt du « côté » ou de la « longueur ». L'exercice de la piscine confirme le fait que la grille n'est plus mobilisable : même s'il paraît plus facile de répondre en donnant le nombre de carreaux, les élèves calculent l'aire globale du fond de la piscine, puis divisent par la mesure d'aire d'un carreau. De plus, l'absence de questions spontanées et le fait que la comparaison des deux algorithmes (ancien et actuel) soit difficile dans le groupe test, Si les élèves pensent globalement que le cm 2 est un carreau, l'idée de report n'est pas mobilisée

, En l'absence d'un travail général de réflexion lié à l'unité de mesure et au parallélisme entre les opérations (sur les figures et sur les nombres) entre les registres, les élèves ont peutêtre construit leur propre interprétation. Faute d'une transition conceptualisable entre les registres (des figures et des nombres et symboles), ils ont associé des représentations géométriques erronées aux objets mathématiques

A. Sciences, RESULTATS ET PERSPECTIVES

, Apports pour l'histoire

, 62) a été inspirée par le regard didactique porté sur les textes. J'ai analysé le choix des mesures de longueur initiales dans un groupe de six tablettes 271 d'exercices de calcul d'aire du carré à Nippur, période paléobabylonienne. Cette démarche était inspirée par le regard porté sur les textes, du point de vue de l'étude de la transmission ; j'ai notamment été influencée par certains outils de didactique comme la notion de variable didactique, L'analyse historique des petites variations L'analyse historique des « petites variations, 1998.

, identifier des tâches principales, c'est-à-dire nécessaires dans chaque exemple, et des sous-tâches (sous-types de tâches, pour la T.A.D) présentes ou non en fonction du choix de la mesure de longueur choisie

, Le travail est peut-être lié également à la question de la progression sur l'enseignement de la dépendance fonctionnelle et de l'équation aux dimensions

, Il s'agissait des tablettes CBS 11318, UM 29-15-192, Ni, vol.18

, J'ai relevé des arguments permettant de penser que l'apprentissage de certaines sous-tâches liées à la circulation dans les tables métrologiques ait pu être un objectif d'enseignement. La mesure de longueur pourrait alors constituer une forme de « variable didactique », étant donné l'implication qu'elle a sur les sous-tâches qui entrent en jeu dans la résolution. L'outil de didactique qu'est « l'assortiment » (Genestoux-Esmenjaud, 2001) permet d'obtenir des critères qui semblent objectiver l'idée d'une différence entre l'entraînement du déjà appris et l'apprentissage du nouveau. Du point de vue méthodologique, les outils de la didactique sont intéressants pour fournir des outils d'observation. Enfin, les outils de la T.A.D (voir p.102) sont pertinents pour observer à l'avenir, la façon dont l'apprentissage de certains (sous)-types de tâches semble être l'objectif d'enseignement ; comment un type de tâches principal peut devenir un type de tâche classique

, La sélection de textes a été faite pour des raisons didactiques : il s'agissait d'illustrer la diversité des points de vue autour des concepts liés à l'aire du carré. Cette analyse, sous certains aspects, me semble avoir un intérêt historique

, Elle participe ainsi à la conflexification de la notion de culture. Deuxièmement, l'ensemble des textes illustre le fait que, pour un « même » calcul (le calcul d'aire du carré), les contextes et les objectifs sont très différents. Troisièmement, selon les contextes, qu'ils soient liés à des besoins concrets ou scolaires (UM 20-15-192), qu'ils portent sur de petites surfaces, ou de grandes propriétés et d'exploitation par les élites (VAT-15-192), que le travail soit associé à l'astronomie (AO 6484) ou au contrôle de propriétés (W 23-291), le calcul d'aire est toujours lié à un travail mathématique et il en produit également, Premièrement, elle montre l'existence de diverses possibilités mathématiques et de divers éclairages des concepts liés au calcul d'aire, dans une même zone géographique : au sein des sources issues de Mésopotamie, en cunéiforme

. Enfin, toutes ces situations nous informent sur les différentes façons de conceptualiser des objets mathématiques qui pourraient sembler uniformes dans l'algorithme de calcul d'aire

, Apports pour la didactique

, les apports détaillés de l'analyse historicoépistémologique dans l'analyse conceptuelle. Je vais ici entamer une discussion plus générale et méthodologique. L'analyse historico-épistémologique a permis : -une mise en commun de travaux de recherche en didactique (analyse préalable, chapitre II) -les effets sur la conception de l'histoire et des sciences

, Effets conceptuels mathématiques

, Pourquoi faire ce détour, si l'on souhaite travailler sur le système métrique et ses implicites ? L'entrée par la constatation des différences (algorithmes ancien et actuel) est une entrée possible, mais elle n'affecte pas tous les élèves uniformément. Il faut tout de même nuancer, car il est possible que les effets constatés soient le symptôme d'un questionnement plus avancé, qui n'ait pas donné lieu à des questions spontanées des élèves. Auquel cas, l'analyse de leur transmission des mathématiques cunéiformes aux élèves de CM2 sera très intéressante à analyser 272 . La question de l'institutionnalisation par l'enseignant, des différences entre les algorithmes ancien et actuel, est importante. Cependant elle se heurte aux contraintes historiques. En effet, dans la perspective d'une interdisciplinarité symétrique

, Peut-on se passer d'une réflexion complexifiée sur l'évolution historique du progrès ? De la connaissance de diverses formes d'intelligence, certaines non occidentales, même si elles ne sont pas reconnaissables au premier coup d'oeil ? La question que pose Maurines et Beaufils (2011) est celle de l'entrée par les textes. Faut-il nécessairement passer par huit heures de mathématiques en cunéiforme pour travailler sur la nature de la science ? Le problème est bien sûr complexe. Certains aspects peuvent sûrement faire l'objet d'un accès plus facile, la piste mérite d'être exploitée très sérieusement. Du point de vue conceptuel en tous cas, il me semble qu'être convaincu de l'existence d'une diversité de points de vue sur les objets mathématiques prend du temps. Si la façon d'aborder cette différence mérite d'être traitée plus avant, L'utilisation de l'histoire, pour travailler sur l'image qu'ont les élèves des mathématiques et de l'histoire, ainsi que plus directement sur la Mésopotamie, semble confirmée

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