Analysis on singular spaces and index theory - Université de Lorraine Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2020

Analysis on singular spaces and index theory

Analyse sur les espaces singuliers et théorie de l’indice

Résumé

This thesis is set in the general context of extending the theory of elliptic operators, well-understood in the smooth setting, to so-called singular domains. The methods used rely on operator algebras and tools coming from non commutative geometry, together with suitable pseudodifferential calculi that are often built from a groupoid adapted to the particular geometry of the problem. The first part of the thesis deals with the general investigation of a particular class of such groupoids, called Fredholm, that provide a very good setting for the study of elliptic operators. One of the major results proved here is that this Fredholm property is local, in the sense that it only depends on the restrictions of the groupoid to sufficiently many open subsets. In the same spirit, we study with C. Carvalho and Y. Qiao groupoids whose local structure is given by gluing group actions, and consider in particular a groupoid suited to the study of layer potential operators. This part concludes with a well-posedness result for a boundary value problem on a domain with a rotational cusp. The second part deals with equivariant operators on a compact manifold, acted upon by a finite group. We answer the following question: given an irreducible representation of the group, under which condition is a differential operator Fredholm between the corresponding isotypical components of the Sobolev spaces? In a joint work with A. Baldare, M. Lesch and V. Nistor, we introduce a corresponding notion of ellipticity associated with some fixed irreducible representation, and show that it characterizes Fredholm operators.
Le contexte général de cette thèse est celui de l'extension de la théorie des opérateurs elliptiques, bien connue dans le cadre lisse, à des domaines dits singuliers. Les méthodes utilisées reposent d'une part sur l'emploi d'algèbres d'opérateurs et d'outils issus de la géométrie non commutative, d'autre part sur l'introduction de calculs pseudodifférentiels adaptés à la géométrie du domaine, souvent via un groupoïde qui résout les singularités. La première partie de la thèse s'intéresse à l'étude d'une classe particulière de ces groupoïdes, dits Fredholm, qui donnent un cadre très favorable à l'analyse des opérateurs elliptiques. Un des résultats majeurs obtenu est que cette propriété de Fredholm est locale, au sens où elle ne dépend que des restrictions du groupoïde à un nombre suffisant d'ouverts. Dans le même esprit, nous considérons avec C. Carvalho et Y. Qiao des groupoïdes obtenus comme recollements d'actions de groupes, et étudions en particulier un groupoïde adapté à l'étude des opérateurs potentiels de couche. Je conclus cette partie avec la résolution d'un problème aux limites pour un domaine à singularité de type cusp rotationnel. La seconde partie s'intéresse aux opérateurs équivariants sur des variétés compactes, sous l'action d'un groupe fini. On répond à la question suivante : étant donnée une représentation irréductible du groupe, à quelle condition un opérateur différentiel est-il Fredholm entre les composantes isotypiques correspondantes des espaces de Sobolev ? Dans un travail commun avec A. Baldare, M. Lesch et V. Nistor, nous définissons une notion correspondante d'ellipticité associée à une représentation irréductible fixée et montrons qu'elle caractérise les opérateurs de Fredholm.
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tel-02970044 , version 1 (17-10-2020)

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  • HAL Id : tel-02970044 , version 1

Citer

Rémi Côme. Analysis on singular spaces and index theory. Mathematics [math]. Université de Lorraine, 2020. English. ⟨NNT : 2020LORR0096⟩. ⟨tel-02970044⟩
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