Étude des modèles de Richardson-Gaudin de spin-½ avec champ magnétique arbitraire - Université de Lorraine Access content directly
Theses Year : 2021

Studies of Richardson-Gaudin spin-½ models with arbitrary magnetic field

Étude des modèles de Richardson-Gaudin de spin-½ avec champ magnétique arbitraire

Abstract

This thesis is divided into three parts and extended over seven chapters between the general introduction and conclusion. Indeed, the first part, consisting of four chapters, is mainly focused on a static study of Richardson-Gaudin models of spin 1/2 with arbitrary magnetic field including the possibility of a totally anisotropic XYZ coupling such that the terms $S^x_jS^x_k , S^y_j S^y_k mathrm{and} S^z_j S^z_k$ all have distinct coupling strengths. In this part we determine generically the energy spectrum, the central spin mean values, the wave functions and the two-point correlation functions of the considered models; which will be useful for an advanced dynamical analysis of these models. The calculation of the energy spectrum of the current system can exploit its integrability which is materialized by a set of equations constituting the integrability condition. This calculation is done independently of the symmetry of the model considered and involves the resolution of a system of quadratic equations that is relatively simple to solve numerically. The second part focuses on some examples of applications that could be implemented on the basis of the results obtained in part I. Indeed, it has recently been shown that the XX central spin model is integrable. It describes a particular spin coupled via XX spin-spin couplings to a bath of other spins while feeling a magnetic field along the $hat{z}$ axis, i.e. perpendicular to the plane in which the coupling exists. What interests us here is first to demonstrate that the XX central spin model remains integrable in the presence of an arbitrarily oriented magnetic field. In a second step we study whether the dark states remain in this case. The U(1) symmetry of the considered model is broken by the addition of an external field component in the XY plane, which could lead to a radically different physics. Nevertheless, we show that, for a sufficiently strong coupling, the structure of the dark states reappears even in the presence of a magnetic field in the plane. A simple understanding of this result and the demonstration of the universality of the results by a finite size scale study and for a variety of distinct distributions of the coupling constants at the different spins of the bath. Another example of application which closes this second part is that of the XXX dark states with arbitrary magnetic field. These states, although having a different physics from the one encountered in the previously studied models, exist and a generic law has been established to count them. This law has been verified up to 12 spins in the bath, so we can assume that it also works beyond 12 spins in the bath, we can conjecture that it is valid for any value of N. The third part of this project is dedicated to a dynamic study of non-integrable models similar to those studied in the first part of this manuscript. Indeed, these models are just the representation of Richardson-Gaudin models immersed in a time dependent magnetic field oriented along $hat{z}$. In a process of rotation around the $hat{z}$ axis of the magnetic field associated to the central spin, it is possible to define a time dependent basis in which the time dependent problem reduces to an independent problem. The resulting Hamiltonian can then be integrable and require the use of the results found in the first part to be solved. For these models, by imagining for example that the system is initially prepared in a dark state of the static Hamiltonian, we clearly see that its dynamics is not trivial and leads to perfect oscillations of this state. Finite size systems resulting from the central spin models treated in this thesis depend strongly on the distribution of couplings between the central spin and each nuclear spin constituting the bath.
Cette thèse est divisée en trois parties et s'étend sur sept chapitres compris entre l'introduction et la conclusion générales. En effet, la première partie, constituée de quatre chapitres est surtout axée sur une étude statique des modèles de Richardson-Gaudin du spin 1/2 avec champ magnétique arbitraire incluant la possibilité d'un couplage XYZ totalement anisotrope tel que les termes $S^x_jS^x_k , S^y_j S^y_k mathrm{et} S^z_j S^z_k$ ont tous des forces de couplage distinctes. Dans cette partie on détermine de manière générique le spectre en énergie, les valeurs moyennes de spin central, les fonctions d'ondes et les fonctions de corrélation à deux points du modèles considéré; lesquels seront utiles pour une analyse dynamique poussée de ces modèles. Le calcul du spectre en énergie du système courant peut exploiter son intégrabilité qui se matérialise par un ensemble d'équations constituant la condition d'intégrabilité. Ce calcul se fait indépendamment de la symétrie du modèle considéré et passe par la résolution d'un système d'équations quadratiques relativement simple à résoudre numériquement. La seconde partie quant à elle est focalisée sur quelques exemples d'applications qu'on pourrait implémenter sur la base des résultats obtenus dans la partie I. En effet, Il a récemment été démontré que le modèle à spin central XX est intégrable. Il décrit un spin particulier couplé via des couplages spin-spin XX à un bain d'autres spins tout en ressentant un champ magnétique le long de l'axe $hat{z}$, c'est-à-dire perpendiculaire au plan dans lequel le couplage existe. Ce qui nous intéresse ici est dans un premier temps de démontrer que le modèle à spin central XX reste intégrable en présence d'un champ magnétique orienté arbitrairement. Dans un second temps nous étudions si les états sombres subsistent dans ce cas. La symétrie U(1) du modèle considéré est brisée par l'ajout d'une composante du champ externe dans le plan XY, ce qui pourrait conduire à une physique radicalement différente. Néanmoins, nous montrons que, pour un couplage suffisamment fort, la structure des états sombres réapparaît même en présence d'un champ magnétique dans le plan. Un autre exemple d'application qui clôture cette deuxième partie est celui des états sombres XXX avec champ magnétique arbitraire. Ces états bien qu'ayant une physique différentes de celle rencontrée dans les modèles précédemment étudiés existent et une loi générique à été établie pour les compter. Cette loi à été vérifiée jusqu'à 12 spins dans le bain, donc nous pouvons supposer qu'elle fonctionne aussi au delà de 12 spins dans le bain, nous pouvons conjecturer qu'elle soit valide pour n'importe quelle valeur de N. La troisième partie de ce projet quant à lui est dédié à une étude dynamique des modèles non intégrables se rapprochant de ceux étudiés dans la première partie de ce manuscrit. En effet, ces modèles sont juste la représentation des modèles de Richardson-Gaudin plongés dans un champ magnétique dépendant du temps et orienté suivant $hat{z}$. Dans un processus de rotation autour de l'axe $hat{z}$ du champ magnétique associé au spin central, il est possible de définir une base dépendant du temps dans laquelle le problème dépendant temps se réduit a un problème indépendant. Le hamiltonien obtenu peut alors être intégrable et nécessiter l'utilisation des résultats trouvés dans la première partie pour être résolu. Pour ces modèles, en imaginant par exemple que le système soit initialement préparé dans un état sombre du hamiltonien statique, on constate clairement que sa dynamique n'est pas triviale et conduit à des oscillations parfaites de cet état. Les systèmes de tailles finies issus des modèles de spin central traités dans cette thèse dépendent fortement de la distribution des couplages entre le spin central et chaque spin nucléaire constituant le bain.
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tel-03418876 , version 1 (29-04-2022)

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Cite

Claude Dimo Panjio. Étude des modèles de Richardson-Gaudin de spin-½ avec champ magnétique arbitraire. Physique mathématique [math-ph]. Université de Lorraine, 2021. Français. ⟨NNT : 2021LORR0154⟩. ⟨tel-03418876⟩
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