Ricci surfaces and minimal surfaces in metric Lie groups - Université de Lorraine Access content directly
Theses Year : 2022

Ricci surfaces and minimal surfaces in metric Lie groups

Les surfaces de Ricci et les surfaces minimales dans les groupes de Lie métriques

Abstract

In this thesis, we will study some topics related to minimal surfaces in three-dimensional homogeneous manifolds. The first part is devoted to the study of non-positively curved Ricci surfaces with catenodial ends. The idea comes from a famous theorem of Huber. In the first place, we give a definition of catenoidal end for non-positively curved Ricci surfaces with finite total curvature. Secondly, we develop a tool which can be regarded as an analogue of the Weierstrass data. By using this tool, we get some classification results and some non-existence results for non-positively curved Ricci surfaces of genus zero with catenoidal ends. In the end of Chapter 2, we also prove an existence result for non-positively curved Ricci surfaces of arbitrary positive genus with finite many catenoidal ends. In the second part of this thesis, we concern about minimal surfaces in a three-dimensional metric Lie group $widetilde{E(2)}$, which is the universal covering of the group of rigid motions of Euclidean plane endowed with a left-invariant Riemannian metric. Firstly, a result of Patrangenaru describes the left-invariant metrics as a two-parameter family of metrics. Then we take advantage of a Weierstrass-type representation due to Meeks, Mira, Pérez and Ros to construct a one-parameter family of helicoidal minimal surfaces in $widetilde{E(2)}$ as well as a one-parameter family of minimal annuli which are properly embedded in $widetilde{E(2)}$. In the end, by a discussion of the limit case of the second family of surfaces, we obtain a new proof of a half-space theorem for minimal surfaces in $widetilde{E(2)}$.
Nous étudions dans cette thèse des sujets liés aux surfaces minimales dans les variétés homogènes de dimension trois. La première partie est consacrée à l'étude des surfaces de Ricci à courbure négative ou nulle avec des bouts caténoïdaux. L'idée principale de cette recherche vient d'un célèbre théorème d'Huber. Nous commençons par introduire la définition des bouts caténoïdaux pour les surfaces de Ricci complètes à courbure négative ou nulle avec la courbure totale finie. Ensuite, nous développons un outil analogue à des données de Weierstrass. En utilisant cet outil, nous avons trouvé quelques résultats de classification et de non-existence pour les surfaces de Ricci à courbure négative ou nulle de genre zéro avec des bouts caténoïdaux. À la fin du deuxième chapitre, nous prouvons aussi un théorème d'existence pour les surfaces de Ricci à courbure négative ou nulle de genre arbitraire avec un nombre fini de bouts caténoïdaux. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous concentrons sur les surfaces minimales dans un groupe de Lie métrique de dimension trois $widetilde{E(2)}$, qui est le revêtement universel du groupe des isométries affines directes du plan euclidien muni d'une métrique riemannianne invariante à gauche. Premièrement, un résultat de Patrangenaru affirme que les métriques riemanniennes invariantes à gauche de $widetilde{E(2)}$ peuvent être décrites comme une famille de métriques à deux paramètres. Nous appliquons ensuite une representation de type Weierstrass due à Meeks, Mira, Pérez et Ros pour construire une famille à un paramètre des surfaces minimales hélicoïdales, ainsi qu'une famille à un paramètre des surfaces minimales annulaires qui sont proprement plongées dans $widetilde{E(2)}$. Pour conclure, nous étudions le cas limite de la famille des surfaces minimales annulaires, et nous obtenons une nouvelle preuve d'un théorème de demi-espace pour les surfaces minimales dans $widetilde{E(2)}$.
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Dates and versions

tel-03833576 , version 1 (28-10-2022)

Identifiers

  • HAL Id : tel-03833576 , version 1

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Cite

Yiming Zang. Ricci surfaces and minimal surfaces in metric Lie groups. Mathematics [math]. Université de Lorraine, 2022. English. ⟨NNT : 2022LORR0115⟩. ⟨tel-03833576⟩
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