Courses de polynômes irréductibles dans les corps de fonctions - Université de Lorraine Access content directly
Theses Year : 2023

Courses de polynômes irréductibles dans les corps de fonctions

Youssef Sedrati
• Function : Author

Abstract

For a very long time, many mathematicians have been fascinated by prime numbers. They have studied the properties of these numbers and have established many theorems concerning them. Among these results, we can mention the Fundamental Theorem of Arithmetic which states that any integer greater than $1$ is uniquely written as a product of prime numbers. Thanks to this theorem, we can view the primes as the elementary bricks in the construction of positive integers. Prime numbers have many applications in various fields. For example, the RSA algorithm is used to secure credit cards. The power of this algorithm lies in the difficulty of factoring a number, which is a product of two very large primes. Prime numbers still hide several mysteries, and their distribution is still not very well understood. In 1853, Chebyshev observed a disparity in the distribution of prime numbers in arithmetic progressions. He noticed that for most real numbers $x geq 2$, there are more primes less than $x$ of the form $4n+3$ than of the form $4n+1$. The goal of this thesis is to study a generalization of this phenomenon to races of primes in the context of the ring of polynomials over a finite field $mathbb{F}_{q}$, where $q$ is a power of an odd prime. To do this, we shall begin by explaining the origin of Chebyshev's bias. We then focus on this phenomenon in function fields, in particular the works of Cha. Using Lamzouri's work concerning prime number races, we have been able to highlight the difference between races with two competitors and races with three or more competitors in the case of function fields. We will also give some examples of races in function fields where the associated densities vanish, which is not the case in number fields. In the last part of this thesis, we shall investigate the races of monic irreducible polynomials modulo a monic polynomial $m$ when the number of competitors $r$ tends to $+infty$ with the degree of $m$.
Depuis bien longtemps, beaucoup de mathématiciens ont été fascinés par les nombres premiers. Ils ont étudié les propriétés de ces nombres et ont établi de nombreux théorèmes les concernant. Parmi ces résultats, on trouve le théorème fondamental de l’arithmétique qui affirme que tout entier plus grand que $1$ s’écrit de façon unique comme un produit de nombres premiers. Grâce à ce théorème, ces nombres peuvent être perçus comme les briques élémentaires dans la construction des entiers strictement positifs. Les nombres premiers interviennent dans divers domaines, notamment dans l'algorithme RSA utilisé pour sécuriser les cartes bancaires. La puissance de cet algorithme réside dans la difficulté de factoriser un nombre qui est le produit de deux très grands nombres premiers. Les nombres premiers cachent encore plusieurs mystères, en particulier en ce qui concerne leur répartition. En 1853, Chebyshev a observé une disparité dans la répartition des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Il a remarqué que pour la plupart des réels $x geq 2$, il y a plus de nombres premiers inférieurs à $x$ de la forme $4n+3$ que de mbox{la forme $4n+1$}. L'objectif de cette thèse est d'étudier une généralisation de ce phénomène aux courses des nombres premiers dans le contexte de l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps fini $mathbb{F}_{q}$, où $q$ est une puissance d'un nombre premier impair. Pour ce faire, nous allons commencer par expliquer le biaisde Chebyshev et présenter certains travaux connexes. Nous nous intéresserons ensuite à ce phénomène dans les corps de fonctions en s'appuyant sur les travaux de Cha. Sur la base des travaux de Lamzouri relatifs aux courses des nombres premiers, nous allons présenter de nouveaux résultats et mettre en évidence la différence entre les courses à deux compétiteurs et celles à $r geq 3$ (entier fixé) compétiteurs dans le cas des corps de fonctions. Nous donnerons aussi des exemples de courses dans le contexte des corps de fonctions où les densités associées s'annulent, ce qui n'est pas le cas dans les corps de nombres. Dans la dernière partie de cette thèse, nous étudierons les courses des polynômes irréductibles unitaires modulo un polynôme unitaire $m$ lorsque le nombre de compétiteurs $r$ tend vers $+infty$ avec le degré de $m$.

Dates and versions

tel-04214319 , version 1 (04-12-2023)

Identifiers

• HAL Id : tel-04214319 , version 1

Cite

Youssef Sedrati. Courses de polynômes irréductibles dans les corps de fonctions. Mathématiques [math]. Université de Lorraine, 2023. Français. ⟨NNT : 2023LORR0092⟩. ⟨tel-04214319⟩

69 View