Phénomènes de concentration pour les équations elliptiques surcritiques - IECL - Institut Elie Cartan de Lorraine Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2021

Concentration phenomena for supercitical elliptic equations

Phénomènes de concentration pour les équations elliptiques surcritiques

Hussein Mesmar
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1131459

Résumé

In this manuscript, we present several aspects of the resolution of nonlinear elliptic partial differential equations with supercritical Sobolev exponent. We are considering the context of a compact Riemannian manifold and we fix a subgroup of the isometries of this manifold. Taking a problem invariant under the action of this group permits to get a reasonable supercritical problem. More precisely, if the action of such a group is free, the quotient is also a smooth manifold of an inferior dimension: this transforms a supercritical problem on the initial manifold into a critical problem on the quotient manifold. Therefore, under this free-action hypothesis, the problem is artificially supercritical. In our work, we consider the more intricate case of a group that does not act freely, so that the quotient space is not necessarily a manifold, and the preceding method fails. We make an explicit hypothesis on the group to be able to perform some analysis. In the first part, we compute the best constant in the Hardy-Sobolev supercritical inequalities with invariance under such a group: this constant depends on the corresponding Euclidean best constant. This constant allows us to get solutions to a supercritical Hardy-Sobolev equation with perturbation via the Mountain-Pass Lemma of Ambrosetti-Rabinowitz. In the second part, we perform an analysis of the concentration phenomenon associated with supercritical equations with invariance. Under suitable hypothesis, we show that the concentration orbit converges very fast to a limiting orbit. This allows to get a relation between the potential and the geometry at the concentration orbit.
Cette thèse présente divers aspects de la résolution d'équations aux dérivées partielles non linéaires avec exposant surcritique de Sobolev, sur des variétés Riemanniennes compactes. Une méthode pour étudier des problèmes surcritiques est d'imposer des invariances par un groupe d'isométries. On va donc se donner un sous-groupe du groupe d'isométries de notre variété. Dans le cas trivial d'une action libre et fidèle, le quotient de la variété par ce groupe est une variété lisse de dimension inférieure. Ainsi, en étudiant un problème invariant par un tel groupe, on se ramène de façon artificielle à un problème critique sur la variété quotient de dimension inférieure. Dans notre travail, nous considérons le cas plus difficile de groupes qui n'agissent ni librement ni fidèlement: le problème sera alors que le quotient ne reste plus une variété, et les techniques précédentes ne fonctionneront plus. Des hypothèses sur ce groupe seront explicitées. Dans la première partie, nous déterminons la meilleure constante dans les inégalités de Hardy-Sobolev avec invariance par un tel groupe d'isométries: cette constante dépend de la meilleure constante euclidienne correspondante et nous permet d'obtenir des solutions de l'équation de Hardy-Sobolev perturbée via le Lemme du Col d'Ambrosetti-Rabinowitz. Dans la deuxième partie, nous effectuons une analyse du phénomène de concentration d'une famille de solutions de l'équation surcritique avec invariances. Sous des hypothèses adaptées, nous montrons que l'orbite de concentration converge très rapidement vers l'orbite limite, ce qui nous permet de montrer une relation entre le potentiel et la géométrie en l'orbite de concentration
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Dates et versions

tel-03627454 , version 1 (01-04-2022)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03627454 , version 1

Citer

Hussein Mesmar. Phénomènes de concentration pour les équations elliptiques surcritiques. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université de Lorraine, 2021. Français. ⟨NNT : 2021LORR0338⟩. ⟨tel-03627454⟩
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