Comportement asymptotique des mots aléatoires et des arbres aléatoires, et applications
Résumé
This thesis is divided in two parts. The first part is interested in the probabilistic analysis on words, especially in what concerns Lyndon words. We find in this part the limit law of the length of the standard right factor of random Lyndon words, first in the simple case of the alphabet of two equiprobable letters, then in the case of the finite random words with independent letters pulled of a totally ordered finite or infinite alphabet, according to a general probability distribution. Moreover in this general case, we shall nd the asymptotic joint law of the normalized lengths of the Lyndon factors of a finite word. We finally give in this part, a look on the structure of Lyndon trees. The second part studies rst the limit distribution of an additive functional on Cayley trees, then a new type of a one dimensional percolation model that can be seen as the study of cars parking after a random walk.
Cette thèse est divisée en deux parties. La première partie s'intéresse à l'analyse probabiliste des mots, particulièrement les mots de Lyndon. Nous trouvons la loi limite de la longueur du facteur droit standard d'un mot aléatoire de Lyndon, en considérant d'abord le cas simple des mots aléatoires finis à deux lettres équiprobables, puis le cas des mots aléatoires finis avec des lettres indépendantes tirées d'un alphabet fini ou infini totalement ordonné selon une loi de probabilité générale. Par ailleurs dans ce cas général, nous trouverons la loi jointe asymptotique des longueurs normalisées des facteurs de Lyndon d'un mot aléatoire fini. Nous donnons finalement un coup d'oeil sur la structure des arbres de Lyndon. La deuxième partie étudie, en première place, la distribution limite d'une fonctionnelle additive définie sur les arbres de Cayley. Ensuite, on étudie un nouveau type de modèle de percolation de dimension 1, le modèle de parking avec stratégie de marches aléatoires pour les déplacements des voitures.