Répartition d'entiers avec contraintes sur les diviseurs - Université de Lorraine Access content directly
Theses Year : 2002

Distribution of integers with divisorial constraints

Répartition d'entiers avec contraintes sur les diviseurs

Sébastien Kerner
  • Function : Author
  • PersonId : 757985
  • IdRef : 071032940

Abstract

This thesis deals with the distribution of three sets of integers characterized by some properties on their divisors. In the first part we use the one-dimensional saddle point method to study the density of square free integers whose k-th prime factor is fixed. The second part is concerned with the estimate of the number [pi subscript k] (x) of integers lower than x which have exactly k prime factors, obtained by using the saddle point method in dimension 2.We get a uniform estirnate for [pi subscript k](X) in a domain of parameters (x, k) near to the optimum, from which we deduce new informations on the local behavior of k ---> [pi subscrip tk](X). This provides a new proof of the Erdôs conjecture about the unimodality of k ---> [pi subscript k](X), proved in 1990 by Balazard, and even an asymptotic estimate of the quotient [pi subscript k+1] (X)/[pi](x).At last,we study the normal divisorial distribution of vd modulo 1, where v is a real number and d exhausts the divisors of any normal integer: we prove in this setting that the real numbers vd have a regular distribution modulo1, for a large class of irrational numbers v.
Cette thèse est consacrée à l'étude de la répartition de trois ensembles de nombres entiers caractérisés par certaines propriétés de leurs diviseurs. Dans la première partie, nous utilisons la méthode du col en une variable pour étudier la densité naturelle de l'ensemble des entiers sans facteur carré dont le k-ième facteur premier est fixé. La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'estimation du nombre [pi indice k](X) des entiers n'excédant pas x ayant un nombre prescrit k de facteurs premiers. Nous évaluons cette quantité à l'aide de la méthode du col en dimension 2. Nous obtenons ainsi une évaluation uniforme de [piindice k](X) sur un domaine quasi optimal pour le couple de paramètres (x, k) et nous en déduisons des renseignements nouveaux sur le comportement local de la. suite k ---> [pi indice k](X). Cela nous permet à la fois de donner une nouvelle démonstration de la conjecture d'Erdôs concernant l'unimodalité de k ---> [pi indice k](X), établie en199ü par Balazard, et de fournir un équivalent asymptotique du rapport[pi indice k+1](X)/[pi](x). La dernière partie est consacrée à l'étude de la répartition divisorielle normale de vd modulo1, où v désigne un nombre réel et d parcourt l'ensemble des diviseurs d'un entier normal. Nous établissons, pour une large classe de nombres irrationnels v, que les nombres vd ont une répartition modulo 1 régulière.
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Dates and versions

tel-01746530 , version 1 (29-03-2018)

Identifiers

  • HAL Id : tel-01746530 , version 1

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Cite

Sébastien Kerner. Répartition d'entiers avec contraintes sur les diviseurs. Mathématiques générales [math.GM]. Université Henri Poincaré - Nancy 1, 2002. Français. ⟨NNT : 2002NAN10239⟩. ⟨tel-01746530⟩
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