Spectres euclidiens et inhomogènes des corps de nombres
Résumé
This thesis has a twofold purpose. Firstly, it attempts to address various issues relating to the concepts of Euclidean and inhomogeneous spectra (for the norm form), especially those relating to the Euclidean minimum of a number field (for the norm form). We establish, in particular, that for every number field K, the Euclidean minimum of K, denoted by M(K), and the inhomogeneous minimum of K, M(\overline{K}), are equal, and that, if the unit rank of K is strictly greater than 1, the Euclidean and inhomogeneous spectra of K are equal and rational when K is not CM. The results that we have established in the latter case, have as a consequence, the decidability of whether K is norm-euclidean of not.
We also show how to explicitly compute M(K). We present an algorithm for cases where K is a totally real number field. This algorithm has enabled us to establish tables up to degree 8, and it
may be transposed to any number field. Moreover, this algorithm has enabled us to find many examples of number fields with class number 1, which are not norm-Euclidean but m-stage norm-Euclidean for m=2.
We also show how to explicitly compute M(K). We present an algorithm for cases where K is a totally real number field. This algorithm has enabled us to establish tables up to degree 8, and it
may be transposed to any number field. Moreover, this algorithm has enabled us to find many examples of number fields with class number 1, which are not norm-Euclidean but m-stage norm-Euclidean for m=2.
L'objet de cette thèse est double. Tout d'abord elle vise à répondre à certaines questions relatives aux notions de spectres euclidien et inhomogène (pour la norme) d'un corps de nombres, et notamment à celles qui concernent son minimum euclidien (pour la norme). Nous établissons en particulier que pour tout corps de nombres K, le minimum euclidien de K, noté M(K), est égal à son minimum inhomogène M(\overline{K}), et que si le rang du groupe des unités de K est strictement supérieur à 1, les spectres euclidiens et inhomogènes de K sont égaux et rationnels lorsque K n'est pas CM. Les résultats que nous établissons sous l'hypothèse r > 1 ont pour conséquence la décidabilité de l'euclidianité pour la norme.
Nous montrons également comment calculer explicitement M(K). Nous décrivons un algorithme pour le cas où K est totalement réel, qui a permis de construire des tables jusqu'au degré 8 ; nous indiquons comment le transposer à des corps de nombres quelconques. En outre, cet algorithme a permis de trouver de nombreux exemples de corps de nombres principaux, non euclidiens pour la norme et euclidiens en deux étapes.
Nous montrons également comment calculer explicitement M(K). Nous décrivons un algorithme pour le cas où K est totalement réel, qui a permis de construire des tables jusqu'au degré 8 ; nous indiquons comment le transposer à des corps de nombres quelconques. En outre, cet algorithme a permis de trouver de nombreux exemples de corps de nombres principaux, non euclidiens pour la norme et euclidiens en deux étapes.