Riccati's equation and control of systems governed by partial differential equation
Equation de Riccati et contrôle de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles
Résumé
The results of this thesis are motivated by the developpement of the mathematical and numerical analysis technics for the control of systems governed by partial differential equation. After a recall about the LQR problem (and the associated Riccati's equation) in the case where the control operator is bounded, we consider this LQR problem in the case where the control operator is unbounded. We give an exemple of the pathological phenomena related to this case. A second part deals with the study of an irrigation channel. This part involves the modelisation of the problem (thanks to the Saint-Venant's equations), the theoretical study of the linearised problem and last, a numerical study. In the numerical study, we look in details how to obtain a feedback control that is robust at some perturbation of the system (H[exponent infinite]control). Finally, in a third part, we show that a class of non linear system is null controllable with a feedback control, infinite time. Moreover, this feedback is the same as the one used for the associated linear system.
La principale motivation des travaux de cette thèse est le développement des techniques d'analyse mathématiques et numériques pour le contrôle des systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles. Après avoir fait un rappel sur le problème de contrôle optimal quadratique (et l'équation de Riccati associée) dans le cas où l'opérateur de contrôle est borné, nous nous intéressons à ce problème dans le cas où l'opérateur de contrôle est non borné. Nous illustrons ce dernier cas avec un exemple qui met en avant les phénomènes pathologiques. Une deuxième partie est consacrée à l'étude d'un canal d'irrigation. Cette partie comporte la modélisation du problème grâce aux équations de Saint-Venant, l'étude théorique du problème linéarisé et enfin une étude numérique. Dans l'étude numérique nous étudions plus en détail le moyen d'obtenir un contrôle feedback qui soit robuste à des perturbations du système (contrôle H[exposant infini). Enfin dans une troisième partie, nous montrons la contrôlabilité à zéro, en temps fini, grâce à un feedback, pour une classe d'équations non linéaires. De plus, ce feedback est le même que celui utilisé pour le problème linéaire associé.