Meromorphic equivalence relations and analytic families of cycles
Relations d'équivalence méromorphes et familles analytiques de cycles
Résumé
The aim of this work is to provide with a finite dimensional complex-analytic
structure some subsets of the set [C loc [eta]]([dzéta]) of all [eta]-cycles of a complex-analytic space [dzéta]. First of all, we study the subset of [C loc [eta]]([dzéta]) described by an analytic family of [eta]-cycles parametrized by a finite dimensional, weakly normal complex-analytic space S. We show that, under some assumptions of regularity, there exists a finite dimensional complex-analytic space Q which gives an universal reparametrization of this family. A major step of the proof is a Direct Image Theorem for semi-proper maps with values in infinite dimension al complex-analytic spaces. We explain by the way the link between this result and analytic equivalence relations : the space Q we build is indeed the quotient of S by the equivalence relation defined by the family of cycles. Then, we introduce the concept of meromorphic family of [eta]-cycles of [dzéta] para-
metrized by S, for which we give again a theorem of universal reparametrization.
We give also a concrete criterion so that an analytic subset of S x [dzéta] may define such a family.
Nous cherchons dans ce travail à munir d'une structure analytique de dimension finie certaines parties de l'ensemble [C loc [eta]]([dzéta]) des [eta]-cycles d'un espace analytique [dzéta]. Plus précisément, nous étudions dans un premier temps le sous-ensemble de [C loc [eta]]([dzéta]) décrit par une famille analytique de cycles de [dzéta] paramétrée par un espace S faiblement normal et de dimension finie. Nous montrons que sous certaines conditions de régularité, il existe un espace analytique Q de dimension finie qui fournit une reparamétrisation universelle de cette famille. Une étape essentielle de la démonstration est un théorème d'image directe pour les applications semi-propres à valeurs dans un espace analytique de dimension infinie. Nous expliquons en passant le lien entre ce problème et celui des relations d'équivalence analytique : l'espace Q que nous construisons est en effet le quotient de S par la relation d'équivalence définie par la famille de cycles. Dans un deuxième temps, nous introduisons la notion de famille méromorphe de [eta]-cycles de [dzéta] paramétrée par S, pour laquelle nous donnons à nouveau un théorème de reparamétrisation universelle. Nous dégageons également un critère concret pour qu'un sous-ensemble analytique de S x [dzéta] définisse une telle famille.