Stochastic processes and partial differential equations applications of Besov spaces to stochastic processes
Processus stochastiques et équations aux dérivées partielles : applications des espaces de Besov aux processus stochastiques
Résumé
The first part of this thesis contains topics relating stochastic processes to partial differential equations via the stochastic differential equation. We prove first the convergence in law to the stationary distribution for a non-linear process, reflected in [-1, 1]. Two such stationary densities are computed and numerical results are presented. Further, we describe the behaviour of the hitting times for a strongly inward real diffusion. We consider next sorne reflected Brownian motions in the unit disk and we compute the maximum of the expectation of the time spent by this process in the disk. The second part of this work is devoted to sorne applications of Besov spaces to stochastic processes. We treat at the beginning the membership of the iterated Brownian motion to Besov and Besov-Orlicz spaces. We examine next the Besov regularity for a two indexed stochastic process, solution of the Walsh equation. The last application presents the approximation of a function in the d-dimensional cube by tensor product neural networks.
La première partie de cette thèse étudie certains processus stochastiques et leur lien avec les équations aux dérivées partielles via les équations différentielles stochastiques. Nous montrons tout d'abord la convergence en loi vers la mesure stationnaire pour un processus stochastique non-linéaire et réfléchi dans l'intervalle [-1,1]. Nous calculons explicitement la mesure stationnaire et nous présentons des approximations numériques pour deux cas particuliers. Ensuite, nous décrivons le comportement des temps d'atteinte pour une diffusion réelle fortement rentrante. Puis, nous considérons certains mouvements browniens réfléchis dans le disque unité et nous cherchons à maximiser l'espérance de leur temps de séjour dans ce disque. Dans la deuxième partie de ce travail, nous présentons quelques applications des espaces de Besov aux processus stochastiques. Nous nous intéressons au départ à l'appartenance du mouvement brownien itéré aux espaces de Besov et aux espaces de Besov-Orlicz. Nous examinons ensuite la régularité dans ces espaces d'un processus à deux indices, solution de l'équation de Walsh. La dernière application présente l'approximation d'une fonction sur le cube d-dimensionnel par le produit tensoriel des réseaux de neurones.