On the long-time behavior of solutions to a class of degenerate parabolic problems of Neumann type
Sur le comportement asymptotique des bonnes solutions d'une classe de problèmes paraboliques dégénérés du type Neumann
Résumé
The study set fort.h in this thes is concerns the long-time behavior of certain solutions to a class of nonlinear degenerate parabolic equations. The equations that we investigate play an important role in the analysis of certain phenomella related to the nonlinear diffusion of substances through porous media; they also play a role in plasma physics, in population dynamics and in many other applications. ln the first chapter we explain briefly what is already known regarding the problem under consideration, and we explain the strategy and the methods we wish to use to prove some generalizations. In the second chapter we formulate precisely and we discuss all of our results which concern the long-time behavior of solutions to problems of fast and slow diffusion. In the third chapter, we give the complete proofs of all our results. The techniques that we use combine methods from the theory of nonlinear semigroups and from the theory of infinite-dimensional dynamical systems. An important feature of our work is t.hat we are able to exhibit the rate of decay of the solutions in each case we consider. These rates of convergence can be either exponential or polynomial, and which one occurs depends on the structural properties of the nonlinearities and of the initial conditions involved .
Cette étude concerne le comportement asymptotique en temps des solutions d'équations paraboliques dégénérées. Plus précisément, les équations étudiées rentrent dans le cadre de l'analyse de certains phénomènes concernant la diffusion de substances en milieu poreux; elles rentrent également dans le cadre de l'étude de certains phénomènes en physique des plasmas ainsi que dans celui de certains phénomènes de migration en dynamique des populations, et jouent donc un rôle prépondérant. dans nombre d'applications. Dans l'introduction nous expliquons quels sont les résultats déjà connus dans ce contexte, puis nous décrivons brièvement la stratégie et les méthodes que nous allons utiliser pour prouver certaines généralisations. Dans le chapitre 2, nous formulons très précisément et nous commentons tous nos résultats qui concernent aussi bien le comportement asymptotique des solutions de diffusion lente que celui de problèmes de diffusion rapide. Dans le chapitre 3, nous démontrons de façon détaillée tous ces résultats. Les techniques que nous développons combinent la théorie des semi-groupes non linéaires et certains arguments de la théorie des systèmes dynamiques en dimension infinie. Une caractéristique importante de tous nos résultats de stabilisation est que nous mettons en évidence des taux de convergence des solutions vers l'attracteur global correspondant, et que ces taux de convergence peuvent être soit exponentiels soit polynomiaux, ceci dépendant fortement des propriétés structurelles des non linéarités et des conditions initiales.