Initial boundary-value problems for viscous Hamilton-Jacobi equations
Problèmes aux limites pour les équations de Hamilton-Jacobi avec viscosité et données initiales peu régulières
Résumé
This thesis deal with the viscous Hamilton-Jacobi equations (VHJ) on bounded domains with smooth boundary. This equation is a nonlinear parabolic problem for which the second term is a power of the gradient of the solution. We study the existence, uniqueness and regularity of weak solutions for (VHJ) equation with Dirichlet or Neumann homogeneous boundary conditions and irregular initial data .The cases of initial data a bounded Radon measure, or a measurable function in the Lebesgue space are investigated. Next, using the Bernstein technique we prove some qualitative properties of these solutions. A particular attention is given to the long time behaviour depending on the sign and the exponent of the nonlinear term.
Cette thèse est consacrée à l'étude de l'équation de Hamilton-Jacobi avec viscosité (VHJ) sur des ouverts bornés à frontière régulière. Cette équation est un problème parabolique non-linéaire dont le second terme est une puissance du gradient de la solution. On étudie l'existence, l'unicité et la régularité des solutions faibles des problèmes aux limites (VHJ) avec une condition au bord homogène de type Dirichlet ou Neumann et des données initiales peu régulières, plus précisément des mesures de Radon bornées ou des fonctions mesurables dans un espace de Lebesgue. Des propriétés qualitatives des solutions faibles sont étudiées à l'aide d'une technique due à S.N. Bernstein. Un intérêt particulier est accordé au comportement asymptotique de ces solutions pour des temps grands en fonction du signe et de l'exposant du terme non-linéaire.
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