Surgery and the second Yamabe invariant
Chirurgie et second invariant de Yamabe
Abstract
The goal of this thesis is to study the relationships between the analytical, geometrical and topological properties of compact manifolds of dimension n greater or equal to 3 and the behavior of the eigenvalues of the Yamabe operator. We start by studying the properties of these eigenvalues : One of the most important observation is that their sign is a conformal invariant. We are interested particulary by the study of the seconf eigenvalue of the Yamabe operator and we enlight the relations between its sign and the existence of nodal solutions of the Yamabe equation. At last, we etablish a surgery formula for the second Yamabe invariant which allows to obtain a lower bond for the second Yamabe invariant under some topological hypothesis
Le but dans cette thèse est d'expliciter les liens entre les propriétés analytiques, géométriques et topologiques des variétés compactes de dimension n supérieure ou égale à 3 et le comportement des valeurs propres de l'opérateur de Yamabe. On commence par étudier les propriétés de ces valeurs propres : l'un des remarques principales est que leur signe est invariant par un changement conforme de métriques. On s'intéresse plus particulièrement à la deuxième valeur propre de l'opérateur de Yamabe et on fait le lien entre son signe et l'existence des solutions nodales de l'équation de Yamabe. Pour finir, nous donnons une formule de chirurgie pour le second invariant de Yamabe, qui nous permet d'en obtenir une borne inférieure sous certaines hypothèses topologiques
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